Aquí se definen las formas modulares: http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_form#General_definitions
Aquí se definen las formas de Maass: http://en.wikipedia.org/wiki/Maass_wave_form
Me pregunto si las formas modulares pueden transferirse a las formas Maass. O son dos categorías diferentes de formas automórficas.
En la terminología más común, las formas modulares en el semiplano superior se dividen en dos categorías: formas holomórficas y formas de Maass. De hecho, existe una noción de formas de Maass con peso y nebentypus, que incluye las formas holomorfas de la siguiente manera: si $f(x+iy)$ es un peso $k$ forma holomórfica, entonces $y^{k/2}f(x+iy)$ es un peso $k$ Forma Maass.
Existen los llamados operadores de bajada y subida de Maass que hacen girar un peso $k$ La forma de Maass en un peso $k-2$ o el peso $k+2$ Forma Maass. Utilizando estos, el peso $k$ Las formas holomórficas pueden entenderse como aquellas que son "nuevas" para el peso $k$ : para $k\geq 2$ el operador de elevación incrusta isométricamente el espacio de peso $k-2$ Maass se forma en el espacio del peso $k$ formas de Maass, y el complemento ortogonal es el subespacio procedente del peso $k$ formas holomorfas como se ha descrito en el párrafo anterior; además, el operador descendente actúa como inverso sobre la imagen del operador ascendente y aniquila la mencionada componente ortogonal.
Todas estas conexiones pueden entenderse mejor en el lenguaje de la teoría de la representación. Aprendí este material de Bump: Automorphic Forms and Representations, véase especialmente el teorema 2.7.1 en la página 241. Otra buena referencia (desde la perspectiva clásica) es Duke-Friedlander-Iwaniec (Invent Math. 149 (2002), 489-577), véase la sección 4.
Las formas automórficas corresponden a representaciones que se dan en $L^2(G/\Gamma)$ . En el caso de que $G$ es $SL_2$ las formas modulares holomorfas corresponden a (vectores de mayor peso de) representaciones en serie discreta de $G$ mientras que las formas de onda de Maass corresponden a (vectores esféricos de) representaciones en serie continua de $G$ .
No soy un especialista en la materia, pero hace poco se me ocurrió leer el hermoso trabajo de Ono "Las últimas palabras de un genio" sobre el Avisos de la AMS, diciembre de 2010 que parece estar relacionado con su pregunta.
Dejemos que $M \colon \mathbb{H} \to \mathbb{C}$ ser un suave función que se transforma como un peso $k$ forma modular y tal que $\Delta_k(M)=0$ . Entonces decimos que $M$ es un peso $k$ forma armónica de Maass .
Cualquier forma armónica de Maass puede escribirse de forma única como
$M=M^{+} + M^{-}$ ,
donde $M^+$ es el parte holomórfica y $M^-$ es el parte no holomórfica . Entonces las formas modulares son exactamente aquellas formas armónicas de Maass tales que $M^-=0$ .
En el caso general, la parte holomorfa de una forma armónica de Maass es no una forma modular, pero sigue siendo un objeto muy interesante. Por ejemplo, cuando $k=1/2$ es un llamado función theta simulada .
Las funciones theta simuladas fueron descritas por primera vez por Ramanujan en una famosa carta a Hardy, escrita en su lecho de muerte, pero sólo muy recientemente sus profundas conexiones con las formas modulares analíticas reales fueron descubiertas por S. Zwegers, en su tesis doctoral escrita bajo la dirección de D. Zagier.
Para más detalles, puede consultar el artículo de Ono o el artículo "What is... a mock modular form?" de Amanda Folsom en el mismo número de Notices of the AMS.
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