Un pecado-integral curioso

Question

Mientras luchaba con cierta serie de Fourier, me topé con una evaluación increíblemente simple (numéricamente) de una integral de pecado de apariencia un poco complicada.

Entonces, deseo preguntar:

Pregunta. ¿Es esto realmente cierto? Si es así, ¿alguna prueba? PS

Answer 1

Tenemos

\begin{align} & 2\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\sqrt{\sin 2x}} \, dx=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{1+\sqrt{\sin 2x}} \, dx=\frac12\int_0^\pi\frac{\sqrt{1+\sin y}}{1+\sqrt{\sin y}} \, dy \\[6pt] = {} &\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{1+\sin y}}{1+\sqrt{\sin y}} \, dy =\int_0^1\frac{\sqrt{1+t}}{(1+\sqrt{t})\sqrt{1-t^2}} \, dt=\int_0^1\frac{dt}{(1+\sqrt{t})\sqrt{1-t}} \\[6pt] = {} &2\int_0^{\pi/2}\frac{\cos z}{1+\cos z} \, dz=\pi-2\int_0^{\pi/2}\frac1{1+\cos z} \,dz= \pi-2\tan\frac{z}2\bigg|_0^{\pi/2}=\pi-2, \end {align} donde usamos sustituciones$y=2x$,$t=\sin y$,$t=\cos^2 z$.

Answer 2

Aquí hay otro enfoque:$$\begin{align}2I&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t+\cos t}{1+\sqrt{\sin 2t}}\,dt\\&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t+\cos t}{1+\sqrt{1-(\sin t-\cos t)^2}}\,dt\\& =\underbrace{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos u}{1+\cos u}\,du}_{\sin t-\cos t=\sin u }\\&=2\int_0^{\pi/2}\left(1-\dfrac{1}{1+\cos u}\right)\,du\end{align}$ $$$\boxed{I=\frac{\pi}{2}-1}$ $