No los axiomas de la teoría de conjuntos supone implícitamente números?

Question

Cuando uno escribe los axiomas de ZFC, o cualquier otro axiomático de la teoría de que la materia, y haciendo declaraciones como "vamos x, y ..." ¿no es esto suponga una comprensión (y por lo tanto de la existencia) de números naturales de forma implícita? (Q1)

¿Cómo es el lector a interpretar las declaraciones tales como la existencia de los símbolos separados, no importa conjuntos, sin una idea intuitiva de los números?

Bourbaki habla acerca de esto en el marco de metamathematics, pero luego declara que el lector puede leer las palabras, diferenciar entre diferentes palabras, etc. y que para asumir lo contrario, es idiota.

Hay una introducción a estos círculo de ideas y debates en algún lugar que te gustaría recomendar? (Q2)

Answer 1

Parece que Deniz es elevar un poco incómoda pregunta de si algunos circularidad está integrado en fundamentos matemáticos. En similar sentido común circularidad es lo que se podría llamar la "paradoja del diccionario": puesto que todas las palabras se definen en términos de otras palabras, los diccionarios están irremediablemente circular, o de algunas palabras deben ser de izquierda indefinida en fin para salir del callejón sin salida.

Como sucede, estoy preparando un artículo para su posible exportación a la nLab que al principio se ocupa precisamente de esta cuestión. En el presente proyecto, tengo este pasaje:

Fundamentos lógicos evita esta paradoja en última instancia, por ser de hormigón. Podemos decirlo de esta manera: la lógica en el nivel primario se compone de instrucciones para tratar con los elementos lingüísticos, pero las acciones concretas para la ejecución de dichas instrucciones (los electrones se mueven a través de las puertas de la lógica, una persona inconscientemente realizar una inferencia en respuesta a una situación) no son en sí mismos elementos lingüísticos, no de la lengua. Sin embargo, son tan preciso como uno podría desear. $$ $$ Hacemos hincapié en este punto porque en nuestras descripciones a continuación, obviamente, se debe usar el lenguaje para describir la lógica, y algunos de este idioma será igual que el de la parte formal de las matemáticas que la lógica se supone que antes. Sin embargo, la aparente circularidad debe ser considerada espuria: se supone que el programador que lee una instrucción como "concatenar una lista de listas en una lista maestra" no se necesita tener el lenguaje matemático para formalizar esto, pero será capaz de traducir directamente en las acciones que realiza en el mundo real. Sin embargo, al mismo tiempo, la matemática alfabetizado lector puede como tener un matemático meta-capa en la que para entender las instrucciones. La presencia de este meta-nivel no debe ser una fuente de confusión, que conduce a pensar que estamos tirando de una circular "rápido".

En otras palabras, para salir de la circularidad, es suficiente observar que las computadoras pueden ser programados para reconocer ciertas cadenas como bien formada términos o fórmulas (de una axiomática de la teoría), y cómo reconocer inferencias válidas. No es como si se necesita un poco de fondo de la teoría, o la existencia previa de un formulario o infinito real de todas las expresiones que podrían surgir, sentado en el interior del equipo. El equipo está programado para manejar finito de partes de la teoría correctamente, y lo mismo se aplica a los usuarios de una teoría (aunque decimos "enseñado", no "programada").

Answer 2

Este problema se acercó tanto en la lógica supuesto que me enseñó el semestre pasado y en el conjunto de la teoría del curso que estoy enseñando este semestre.

Lo que les dijo a los estudiantes es que, para hacer de la lógica matemática, se necesita una comprensión básica de palabras sobre un alfabeto finito. No podemos construir una teoría a partir de menos.
Pero si entendemos finito de cadenas, básicamente, tenemos los números naturales.
Algunas partes de la lógica matemática asumir básicos de la teoría de conjuntos, tales como la integridad teorema de primer orden idiomas en innumerables alfabetos (o simplemente alfabetos que no son recursivamente enumerable). Pero esto se puede evitar si nos atenemos a lo suficientemente simple alfabetos (o incluso de un alfabeto finito).

Del mismo modo, usted no puede hacer la teoría de conjuntos axiomática sin una comprensión básica de la lógica, que a su vez requiere una comprensión básica de las cadenas.

Por otro lado, una vez que usted ha construido una suficiente la teoría de la lógica y teoría de conjuntos, se puede utilizar con el fin de analizar las matemáticas. Esto es algo similar a la forma en que aprendemos matemáticas: aprender a agregar números naturales en primer lugar, y luego (generalmente algo como 12 o más años después de que) aprender acerca de los Axiomas de Peano que poner todo sobre una base sólida. Creo que esta especie de círculo no puede ser evitado.

Answer 3

Tenga en cuenta que hay diferentes maneras de pensar acerca de la teoría de conjuntos y de manera más general acerca de la Lógica. Se puede pensar en ellos como una base para las matemáticas o que puede ser pensado como una parte de las matemáticas. Si usted está pensando en ellos como una fundación, al final tienes que aceptar algunos conceptos intuitivos, el punto de la fundación no es que no asume nada y se basa en nada, el punto es que se basa en teorías aceptadas. Casi todos los matemáticos aceptan la muy débil teorías acerca de los números naturales y que son suficientes para la construcción de la necesaria metamathematics para la teoría de conjuntos. (Primitiva Recursiva Aritmética sería suficiente, pero aún más débiles teorías son suficientes).

Yo sugeriría que la introducción de K. Kunen de la "Teoría de conjuntos" libro (la parte que describe el punto de vista formalista) y S. C. Kleene del "Metamathematics".

Answer 4

Si me pueden agregar (aunque este post es una especie de viejo)

Esta circularidad "problema" (si se quiere ver así), aparece en (lo que nos referimos como) clásica de las matemáticas.

Ahora uno debe tener en mente que incluso estos clásicos de las matemáticas (continuando a lo largo de las líneas de aristóteles, euclides, arquímedes, leibniz, cantor, hilbert, russel, goedel, etc..), han sido de corte y formalizado (o esterilizado, si te gusta) para una mayor extened que originalmente significaba.

En cualquier caso este no es el argumento principal.

Pero me gustaría llamar la atención a la intuitionistic sabor de las matemáticas (y, especialmente, de la LEJ Brouwer camino) (véase, por ejemplo, LEJ Brouwer, Cambridge Conferencias sobre Intuitionism, la mayoría de los de la primera conferencia más el apéndice en marxists.org).

Hay Brouwer, conscientes del problema, explícitamente toma en el tema de las matemáticas sobre el lenguaje o la sintaxis.

Extracto:

PRIMER ACTO DE INTUITIONISM

La separación completa de las matemáticas del lenguaje matemático y, por tanto, a partir de los fenómenos del lenguaje descrito por los teóricos de la lógica, reconociendo que intuitionistic matemáticas es esencialmente un languageless la actividad de la mente que tiene su origen en la percepción de un movimiento de tiempo. Esta percepción de un movimiento de tiempo puede ser descrito como el desmoronarse de un momento en la vida de dos cosas distintas, una de lo que da forma a la otra, pero es retenido por la memoria. Si el twoity así nació se ha despojado de toda calidad, se pasa a la forma vacía de el sustrato común de todos los twoities. Y es esto común sustrato, este formulario vacío, que es la intuición básica de matemáticas.