El isomorfismo Harish-Chandra describe el centro $Z(\mathfrak{g})$ de $U(\mathfrak{g})$ como invariantes de $\text{Sym}^*\mathfrak{h}$ bajo la acción del grupo de Weyl. (Hay que torcer la acción o hacer un cambio de coordenadas en el espacio afín $\mathfrak{h}^*$ para que este isomorfismo funcione).
Mi pregunta es, ¿cómo se entiende este isomorfismo, y cuál es el contexto geométrico del mismo? ¿Por qué debería esperarse que algo así sea cierto?
Isomorfismo Harish-Chandra se define para álgebras semisimples. Voy a intentar dar una explicación informal para las álgebras de Lie simples clásicas, tomando gl_n como ejemplo principal.
Nos interesa el centro de U(gl_n) - lo mismo que los invariantes de gl en ese espacio. Primero veamos S(gl_n) - álgebra simétrica de gl_n - como espacio vectorial y además como módulo de g, es isomorfo a U(gl_n). Así que hay que describir los invariantes de S(gl). Igual que los invariantes del grupo GL en el espacio de todas las matrices donde GL actúa por conjugación
En realidad todo el mundo sabe la respuesta - los invariantes son coeficientes del polinomio característico ¡! Los coeficientes del char.pol son funciones simétricas de los valores propios - por lo que se obtiene el S(gl)^GL = Sym(h^*)^W. (Para mí, este simple hecho es la principal "motivación" para el isomorfismo HC).
Ahora, ¿qué es lo NO obvio? Necesitamos pasar de S(gl) a U(gl) y este paso está realmente relacionado con la torsión del grupo de Weyl de acción por desplazamiento en rho/2.
No creo que haya una explicación sencilla de esto, pero hay algún contexto general que explica al menos por qué ZU(g) es isomorfa como álgebra conmutativa a S(g)^g. Además, para cualquier álgebra de Lie "g", no sólo la semisimple.
Esto es lo que se llama Isomorfismo de Duflo . Además, fue generalizado por M. Kontsevich a la cuantificación de una variedad arbitraria de Poisson.
Así que, a grandes rasgos, el "contexto general" es el siguiente: "la cuantización es BUENA", es decir, que muchas estructuras algebraicas que podemos ver en el nivel clásico de las álgebras de Poisson se pueden transferir al nivel cuántico de forma isomórfica. Esto se formaliza mediante "teoremas de formalidad" como el de Kontsevich, y otros posteriores.
¿Y por qué el grupo de Weyl se desplaza? No sé la respuesta - está claro cómo se puede adivinar esto - sólo tome Casimir para sl(2) y lo verá. Pero el significado conceptual no está claro para mí.
Si alguien lo tiene claro - entonces, ¿sería tan amable de comentar qué ocurre en el caso de la gl afín? Ver mi pregunta: Isomorfismo de Harish-Chandra para álgebras de bucles. ¿Es la imagen invariante con respecto al grupo afín de Weyl? ¿Existe una relación entre la transformación de Miuru y el grupo afín de Weyl?
Razones similares funcionan para otras álgebras de Lie semisimples clásicas, y puede que no sólo para las clásicas.
PS
Hay una generalización del isomorfismo Harish-Chandra http://arxiv.org/abs/0912.1100 Un isomorfismo Harish-Chandra generalizado Sergey Khoroshkin, Maxim Nazarov, Ernest Vinberg (confesar que S. Khoroshkin fue mi supervisor).
He aquí una perspectiva algebraica/de teoría de la representación sobre por qué podría existir tal morfismo, aunque no creo que históricamente sea así en absoluto. Admitamos por un momento que uno puede estar interesado en los módulos de Verma. Es fácil ver que el centro actúa a través de escalares en ellos. Los módulos de Verma están parametrizados por $\mathfrak{h}^*$ y de esta manera se obtiene un morfismo de álgebra $Z(\mathfrak{g}) \to Sym(\mathfrak{h})$ . Ahora también es relativamente sencillo ver (si no recuerdo mal) que para cada reflexión simple $s$ el módulo Verma $M(s\cdot \lambda)$ se presenta como un submódulo del módulo de Verma $M(\lambda)$ , para $\lambda$ integral. Se deduce que el morfismo del álgebra construido anteriormente aterriza en $W$ -invariantes.
Según lo que se entienda por "intuición", el cálculo del comportamiento del centro $\mathfrak z$ de $U\mathfrak g$ en series principales no ramificadas repns no sólo sugiere la forma del isomorfismo Harish-Chandra, sino que también sugiere la $W$ -invarianza, ya que los entrecruzamientos (genéricamente isomorfismos) entre series principales están dados exactamente por elementos del grupo de Weyl (con el desplazamiento por la semisuma $\rho$ de raíces positivas como resultado de un cambio de medida a nivel de grupo).
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