Parece que estoy totalmente perdido esta.
Aquí es lo que supongo que pasa: aunque el original 2.19 fue mal, no es una versión menos lo que es verdadero (apenas voy estado para simplicial conjuntos): Si $X$ es un conjunto simplicial, y $\mathcal{P}$ una colección finita de subobjetos de $X$ que es cerrado bajo intersecciones, y el$\bigcup_{K\in\mathcal{P}} K=X$,, a continuación,$\mathrm{hocolim}_{\mathcal{P}} K \approx X$. Creo que la original no la prueba de 2.19 que me dio fue realmente tratando de probar esta versión menos (voy a tratar de conseguir que la recta, cuando tengo algo de tiempo).
Ahora la versión débil de 2.19 se aplica a la poset $\mathcal{P}_K$. Casi: $\mathcal{P}_K$ no necesariamente es cerrado bajo la intersección (límites finitos), pero sólo porque no puede contener un objeto inicial, correspondiente a $\varnothing \to K$. Si agrega este objeto a $\mathcal{P}_K$, el argumento parece ir a través de (tenga en cuenta que $V_\varnothing(A_1,\dots,A_m)$ es en sí mismo vacío).
Trabajar de esto ...
Deje $\{S_i\}_{i\in I}$ ser un índice de la colección de (distinta) de subconjuntos de un conjunto $S$, implícitamente decisiones $I$ en un poset por la inclusión, donde un functor $F\colon I\to Set_{/S}$. Supongamos (*) cada elemento de $S$ está contenida en un mínimo de $S_i$, es decir, para cada una de las $x\in S$ existe $i(x)\in I$ tal que $x\in S_j$ fib $S_{i(x)}\subseteq S_j$. (Esto se aplica en particular si el indexado de la colección es cerrado bajo la intersección, pero es más débil condición en general).
La condición (*) implica que el functor $F$ es un subproducto de la libre functors: $F\approx \coprod_{x\in X} \mathrm{Hom}_I(i(x),-)$. En particular, $\mathrm{colim} F \approx S$.
Ahora supongamos $\{S_i\}_{i\in I}$ es un índice de la colección de subobjetos de un conjunto simplicial $S$, satisfactorio (*) en cada uno de los grados. Mediante la observación anterior (que se aplica de forma inductiva por el grado de no-degenerada simplicies de $S$), vemos que el functor $F\colon I\to sSet$ es cofibrant en el proyectivas de la estructura del modelo. Como consecuencia, $\mathrm{hocolim} F \xrightarrow{\sim} \mathrm{colim} F\approx S$. Podemos extender el reclamo para reemplazar a $sSet$ con $Fun(C,sSet)$, ya que hocolims en functor categorías son calculadas termwise.
Esto da una versión de 2.19, lo cual es cierto, y que deberían aplicarse a la $\mathcal{P}_K$ de 6.4. Creo que.
