Creo que las formas modulares (para $SL_2$ ) de pesos enteros y medio enteros son más importantes para la aritmética, mientras que las formas modulares de otros pesos (reales o complejos) son principalmente objetos de interés analítico. Admito que las formas modulares de otros pesos podrían tener conexiones con la aritmética -- no sé nada sobre las formas armónicas de Maass, la teoría VOA, etc., así que no puedo descartar una conexión. Pero la conexión más importante con la aritmética -el producto de Euler- parece estar ausente fuera de los pesos medio enteros y enteros.
La razón es el "núcleo metapléctico" y una buena referencia es el artículo "Computation of the Metaplectic Kernel" de Gopal Prasad y Andrei Rapinchuk, en Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 84 (1996), 91-187 (1997).
Para tener una buena teoría de los productos de Euler, las formas modulares deben corresponder a representaciones automórficas de algún grupo metapléctico. Así, para $SL_2$ se necesita una extensión central de grupos localmente compactos: $$1 \rightarrow U(1) \rightarrow \tilde G_{\mathbb A} \rightarrow G_{\mathbb A} \rightarrow 1,$$ donde $U(1)$ es el círculo, y también se necesita un desdoblamiento de la extensión sobre $G_{\mathbb Q}$ .
Cuando $G = SL_2$ las únicas extensiones no triviales con desdoblamientos provienen de extensiones dobles de $SL_2({\mathbb A})$ -- el grupo metapléctico tradicional. Así que sólo se ven formas modulares de peso medio entero si se quiere trabajar de forma adelanta, descomponer representaciones automórficas en piezas locales, obtener un producto de Euler, etc.
Para otros grupos sobre otros campos, se pueden obtener otros tipos de extensiones centrales. Este es el tema del artículo de Prasad-Rapinchuk citado anteriormente.
Personalmente, prefiero una clase aún más restrictiva de "grupos metaplécticos" que surgen del marco algebraico de Brylinski y Deligne (extensiones centrales de grupos reductores por $K_2$ ).
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