¿Existe una función suave, preferiblemente analítica que crece más rápido que cualquier función en la secuencia$e^x, e^{e^x}, e^{e^{e^x}}...$

Question

¿Existe una función uniforme, preferiblemente analítica que crece más rápido que cualquier función en la secuencia $e^x, e^{e^x}, e^{e^{e^x}}$ ?

Nota: Aquí NO se requiere que la respuesta sea una función elemental, ya que sé que de lo contrario la respuesta sería no.

Editar: Michael ha mencionado la interpolación de una serie de funciones, pero ¿exactamente cómo lo hago sin problemas?