Sea$t\in\Bbb{N}$ y considere las secuencias$p_t(n)$ definidas por$$\sum_{n\geq0}p_t(n)x^n=\prod_{i\geq1}\frac1{(1-x^i)^t}=(x;x)_{\infty}^{-t}.$ $ Los números$p_t(n)$ pueden considerarse como una enumeración de particiones de$n$ en partes que vienen con$t$ colores. Además,$p_t(n)=\sum_{\lambda\vdash n}\prod_{j\geq1}\binom{k_j+t-1}{t-1}$ donde$\lambda=1^{k_1}2^{k_2}\cdots$ y cada$k_j\geq0$. Tenga en cuenta también que$p_1(n)=p(n)$ es el número habitual de particiones enteras (sin restricciones) de$n$. Las famosas congruencias de Ramanujan afirman$$\begin{cases} p(5n+4)\equiv0\mod 5, \\ p(7n+5)\equiv0\mod 7, \\ p(11n+6)\equiv0\mod 11. \end{cases}$ $
Con el mismo espíritu, lo siguiente parece ser cierto. ¿Son ellos? $$ \begin{cases} p_t(5n+4)\equiv0\mod 5, \qquad t\equiv0,1,2,4\mod 5 \\ \,p_t(7n+5)\equiv0\mod 7, \qquad \,\,t\equiv0,1,4 \,\,\,\, \mod 7\\ p_t(11n+6)\equiv0\mod 11, \qquad t\equiv0,1,10\mod 11. \end {cases} $$
