Canónica de la Inmersión de la Doble Toro

Question

Es fácil comprobar que la inmersión $\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1\longrightarrow\mathbb{R}^4$, $(\alpha,\beta)\longmapsto(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta)$ induce la plana métrica en el toro, y luego, desde el punto de vista matemático, esta inmersión es altamente preferido para el estándar de 'donut' uno en $\mathbb{R}^3$.

Siempre me he preguntado si existe algo similar para mayor género de las superficies, por ejemplo un género 2 de superficie de doble toroide. Me imagino que, desde el plano hiperbólico es el espacio utilizado como una cobertura universal para el doble toro con curvatura constante $-1$, se debe buscar algo de suave funciones desde el plano hiperbólico (es decir, el disco de Poincaré en $\mathbb{C}$) a una mayor distancia Euclídea o Hiperbolic espacio que son periódicas respecto a la acción de algunos Fuchsian grupo. Tener estas funciones, el punto es que la inmersión induce la $-1$ curvatura constante.

Por supuesto, debe haber algunos incrustar, de acuerdo con los teoremas de isométricos embeddability. Pero el objetivo de esta pregunta es para preguntar si existen algunas buenas y funciones naturales, que hacen el trabajo como en el caso del toro.

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Esto no es realmente una respuesta, sino más bien alargada comentario y una sugerencia acerca de cómo se puede enfocar el problema un poco mejor.

En primer lugar, cuando uno pide un 'canónica' isométrica de la incrustación en algún espacio Euclidiano de un género $2$ de la superficie, dotado de una métrica de curvatura $K=-1$, uno podría querer considerar en qué sentido, incluso la de Clifford 'toro' es 'canónica'.

De hecho, hay muchos planos de los parámetros de la 1 orificios toro: Si $\Lambda\subset\mathbb{C}$ es una red (es decir, un subgrupo discreto de rango $2$, dicen generado por $1$ e $\tau\in\mathbb{C}$ con parte imaginaria positiva), entonces el estándar métrico $\mathrm{d}z\circ\mathrm{d}\bar z$ induce un plano métrico $g_\Lambda$ a $T = \mathbb{C}/\Lambda$, y estos planos de las métricas no son globalmente isométrica como $\tau$ varía. Sin embargo, como Montiel y Ross demostró en este trabajo, hay un $g_\Lambda$-inmersión isométrica $f_\Lambda:T\to\mathbb{E}^6$ por primera funciones propias (que en realidad los mapas en una ronda de $5$-esfera) que, por otra parte, es equivariant con respecto a la identidad de los componentes de el grupo de isometría $G_\Lambda$ de % de $g_\Lambda$ en el sentido de que hay una incrustación $G_\Lambda\to\mathrm{SO}(6)$, de modo que $f_\Lambda(g\cdot p) = g\cdot f_\Lambda(p)$ para todos los $p\in T$. En particular, este isométrica de la incrustación es como 'homogénea' como sea posible. Al $\tau=i$ (de modo que $\Lambda$ es la plaza de celosía), esto se reduce a que el toro de Clifford ejemplo, que el OP mencionados.

Por supuesto, estos ejemplos son simplemente los cocientes de global equivariant inmersiones isométricas de $\mathbb{E}^2$ a $\mathbb{E}^n$ para $n\ge 2$.

Mientras tanto, es bien sabido que el grupo de isometría del disco de Poincaré es isomorfo a $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ y que este grupo no tiene ningún tipo trivial homomorphism para el grupo de isometría del espacio Euclidiano en cualquier (finito) de dimensión. Por lo tanto, no hay ninguna esperanza para construir un equivariant isométrica de la inmersión del disco de Poincaré en cualquier finito (dimensiones) el espacio Euclidiano, y mucho menos de encontrar uno que se 'cierra' en algunas Fuchsian subgrupo a dar un 'canónica' isométrica de la incrustación de la $2$-orificios de toro en el espacio Euclidiano.

Por lo tanto, uno debe buscar en otra parte de la noción de 'canónica isométrica de la incrustación'. Una posibilidad que uno podría tratar de generalizar el de arriba plana caso sería pedir un isométrico de la incrustación por las funciones propias del operador de Laplace asociado a un determinado valor propio. Una relacionada con el (la no-existencia resultado) es la siguiente: Si $(M^2,ds^2)$ es una superficie de la constante negativa de la curvatura de Gauss a continuación, no es trivial mapa de $f:M\to S^n\subset\mathbb{E}^{n+1}$ que satisface $\Delta f = -\lambda f$ cualquier $\lambda\not=0$. De esta manera se sigue por las mismas técnicas que se utilizan para demostrar el Teorema 2.3 en este trabajo de la mina. Por lo tanto, algún tipo de extra sistema de ecuaciones que sería necesario para determinar qué entiende usted por 'canónica'.