Dado que un grupo de mentiras es un colector con la estructura de un grupo continuo, entonces cada punto del colector [Editar: siempre que fijemos una métrica, por ejemplo una invariante o bi-invariante] tiene alguna curvatura escalar R.
Pregunta [¿Existe una fórmula agradable que exprese la curvatura escalar en un punto de la variedad en términos del álgebra de mentiras del grupo?
Véase el ejercicio 1 del capítulo 4 de "Geometría Riemanniana" de Do Carmo.
La fórmula es $R(X,Y)Z = \frac 1 4 [[X,Y], Z]$ .
En particular, si $X$ y $Y$ son ortonormales, la curvatura seccional del plano generado es
$K(\sigma)= \frac 1 4 \|[X,Y]\|^2$
Que siempre es $\geq 0$ .
EDIT: En vista de los comentarios, es importante añadir que esto es para una métrica bi-invariante.
Victor, el resultado es correcto en su estado actual, excepto que $X,Y,Z$ se supone que son campos vectoriales invariantes a la izquierda.
No lo entiendo: la fórmula no implica la métrica, pero si se reescala la métrica, seguramente la curvatura también se reescalará.
Para las métricas invariantes a la izquierda (o a la derecha), este documento de Arnold da una fórmula para las curvaturas seccional y riemanniana, en términos del adjunto de la operación de corchetes de Lie en la métrica.
También está dada por la Proposición 3.18 en el libro "Comparison Theorems in Riemannian Geometry" de Cheeger y Ebin (un libro que recomiendo por ser una de las exposiciones más limpias de la geometría de Riemann).
Está disponible aquí en NumDAM sin necesidad de suscripción: archive.numdam.org/ARCHIVE/AIF/AIF_1966__16_1/
Un resultado que creo que será el que te interesa es este,
(corregido y aclarado en respuesta a las indicaciones de José)
Para un grupo de Lie con una métrica riemanniana bi-invariante, la conexión Riemann-Christoffel es la mitad del álgebra de Lie, es decir $\nabla _ X Y = \frac{1}{2}[X,Y]$ . Esto se deduce de una combinación de la identidad de Koszul y del hecho de que las métricas bi-invariantes en los Grupos de Lie son Ad-invariantes
Para un grupo de Lie semisimple compacto, el negativo de la forma de Killing da un candidato natural para dicha métrica riemanniana bi-invariante.
Este mapeo de la conexión en términos del Álgebra de Lie puede utilizarse de forma fructífera para conseguir expresiones más sencillas para otras cantidades, como por ejemplo la afirmación de que la curvatura escalar se convierte en una cuarta parte de la dimensión del Grupo de Lie.
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Obsérvese que un grupo de Lie no tiene una estructura canónica de Riemann, por lo que, en cierto sentido, su pregunta no está bien planteada.
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Tu pregunta no tiene sentido tal como está: para obtener una curvatura escalar, necesitas una estructura riemanniana. Para un grupo de Lie, una opción natural es tomar una métrica invariante a la izquierda. Podrías editar tu pregunta en esta dirección. Si estás interesado en la curvatura de las métricas pseudo-riemannianas, entonces en el caso semi-simple también puedes considerar la forma de Killing --bi-invariante--.
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Y no sólo semisimples, por supuesto: hay grupos de Lie con métricas bi-invariantes cuyas álgebras de Lie ni siquiera son reductoras.