Resolver $ax^3+bx^2+cx+d=0$ utilizando una sustitución diferente a la de Vieta?

Question

Todos sabemos que una ecuación cúbica general es de la forma

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$ donde $$a\neq0.$$

Se puede resolver fácilmente con las siguientes sustituciones sencillas:

$$x\longmapsto x-\frac{b}{3a}$$

Lo conseguimos,

$$x^3+px+q=0$$ donde, $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$ y $q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

Entonces, usando la sustitución de Vieta,

$$x\longmapsto x-\frac{p}{3x}$$

Lo conseguimos,

$$(x^3)^2-q(x^3)-\frac1{27}p^3=0$$

que se puede convertir fácilmente en una ecuación cuadrática, utilizando la sustitución: $x^3 \longmapsto x.$

Y esta es mi pregunta:

En matemáticas, ¿existe una sustitución que sea "diferente" de la sustitución $x\longmapsto x-\frac{p}{3x}$ que puede utilizarse para la ecuación cúbica de forma estándar $x^3+px+q=0$ que se puede convertir fácilmente en una ecuación cuadrática?

Tengo curiosidad, si hay un nuevo sustituto que no conozco.

Gracias.

Answer 1

Posible sustitución $x\to X+\frac{1}{z}$ , donde $X$ es algún parámetro y $z$ es una nueva incógnita, pero es necesario utilizar algunas propiedades del polinomio cúbico, que históricamente hemos recibido de Lagrange.

Así tenemos la solución de la ecuación $f=ax+bx^2+cx^3$ :

$\begin{cases} X=\dfrac{-(a b + 9 c f) + \sqrt{(a b + 9 c f)^2-4 (b^2 - 3 a c) (a^2 + 3 b f)}}{2 (b^2 - 3 a c)}\\ C=a X + b X^2 + c X^3 - f\\ B_1=a + 2 b X + 3 c X^2\\ W=B_1^3-27cC^2\\ B_2=\left\{W^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} W^{1/3}\,,(-1)^{2/3}W^{1/3}\right\}\\ x=X+\frac{3C}{B_2-B_1} \end{cases}$

Derivando esta solución ver en Introducción y hay un código para verificar en Wolfram y Geogebra.