Más curvas elípticas para $a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4$ ?

Question

( Nota: Véase también el $a^4+b^4+c^4 = 1$ versión en esta antigua Puesto de MSE .)

La ecuación discutida en un artículo de Jacobi y Madden,

$$a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4 = z^4\tag1$$

o de forma equivalente,

$$(p-2q + r)^4 + (p-2q - r)^4 + (q + s)^4 + (q - s)^4 = (2p - 2q)^4\tag2$$

Después de un poco de álgebra, $(2)$ puede resolverse como una intersección de dos superficies cuádricas bastante simples,

$$(m^2-7) p^2 + 24pq-24q^2= (m^2+1) r^2\tag3$$

$$8mp^2-24mpq - 3(m^2 - 8m + 1) q^2 = (m^2 + 1) s^2\tag4$$

para alguna constante $m$ . Dada una solución conocida de $(1)$ , $m$ se puede recuperar como,

$$m =\frac{3q^2+s^2}{p^2-r^2}\tag5$$

Sólo se conocen dos (?) soluciones primitivas a $(1)$ con $z<220000$ .

I. Solución 1:

$$(-2634)^4+5400^4+1770^4+955^4 = (-2634+5400+1770+955)^4=5491^4$$

De estos $a,b,c,d$ después de la permutación se pueden obtener seis valores distintos para $m$ ,

$$m_k =\frac{511}{450}, \, \frac{31^2}{61}, \, \frac{1423}{1098}, \, \frac{2521}{325}, \, \frac{1651}{126},\,\frac{1777}{1525}\tag6$$

que son, de hecho, (cortesía de un comentario de Jeremy Rouse),

$$m_k =\frac{n_1}{d_1},\,\frac{n_1+d_1}{n_1-d_1},\,\frac{n_3}{d_3},\,\frac{n_3+d_3}{n_3-d_3},\,\frac{n_5}{d_5},\,\frac{n_5+d_5}{n_5-d_5}$$

Por ejemplo, utilizando $m_2 =\frac{31^2}{61}$ y aplicarlo a $(3),(4)$ obtenemos,

$$448737 p^2 + 44652 p q - 44652 q^2 = 463621 r^2$$

$$234484 p^2 - 703452 p q - 687411q^2 = 463621 s^2$$

que tiene un racional inicial $p,q = -1906,\,\frac{1679}{2}$ . Usando una curva elíptica, podemos entonces obtener un infinito más.

II. Solución 2:

$$(-31764)^4+ 27385^4+ 48150^4+ 7590^4 = (-31764+27385+ 48150+7590)^4 = 51361^4$$

A partir de esto, obtenemos,

$$m_k =\frac{193}{18},\, \frac{211}{175},\, \frac{619}{450},\,\frac{1069}{169},\, \frac{1141}{666},\, \frac{1807}{475}\tag7$$

Por ejemplo, utilizando $m_1 = \frac{193}{18}$ , con un principio de $p,\,q = \frac{27187}{2}, -12087$ .

Pregunta:

1. Sin conocer de antemano las soluciones 1 y 2, ¿existe una forma sistemática de buscar las $m$ tal que $(3),\,(4)$ ¿tiene soluciones racionales? ¿Qué otras $m$ ¿hay de poca altura que no esté en la lista de los doce anteriores?

Answer 1

Dado un número racional $m$ , dejemos que $C_{m}$ sea la intersección de dos cuadriculas dadas por (3) y (4) en la pregunta original. La forma de buscar los puntos es probar la curva $C_{m}$ para ver si tiene puntos locales. Hice esto para todos los $m$ con altura $\leq 193$ (ya que sabía que encontraría puntos en $C_{193/18}$ ). Sólo hay $18$ números racionales para los que $C_{m}$ tiene puntos en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}_{p}$ para $p = 2$ an todos los primos de la mala reducción del jacobiano de $C_{m}$ . (Hice este cálculo en Magma, y fue complicado por el hecho de que Magma actualmente tiene un error en su comando IsLocallySolvable).

(El $18$ racionales de altura menor o igual a $193$ para lo cual $C_{m}$ tiene puntos locales son $157/150$ , $163/150$ , $151/126$ , $181/150$ , $121/96$ , $103/78$ , $97/72$ , $79/54$ , $37/25$ , $67/42$ , $49/24$ , $73/25$ , $109/25$ , $31/6$ , $133/25$ , $169/25$ , $181/25$ y $193/18$ .)

Búsqueda de puntos en estos $C_{m}$ de altura hasta $10^{8}$ revela puntos para $m = 157/150$ , $m = 37/25$ , $m = 31/6$ y el punto de $m = 193/18$ que ya conocíamos. Las nuevas soluciones a (1) que surgen de estos puntos son \begin{align*} a &= 841263, b = -792940, c = 3852350, d = -44410\\ a &= 35847220, b = -34122866, c = 53902630, d = 2542025\\ a &= 39913670, b = -23859495, c = 15187700, d = 10116014,\\ \end{align*} que provienen de $m = 157/150$ , $m = 37/25$ y $m = 31/6$ respectivamente. (En realidad encontré dos puntos en el $m = 31/6$ curva. El otro punto da una solución a (1) que es una permutación de la $a = 35847220$ solución).

Puede ser posible demostrar que $C_{m}$ no tiene puntos para otras opciones de $m$ utilizando el hecho de que $C_{m}$ es un cuatro-cubierto de su Jacobiano y utilizando otras técnicas (el emparejamiento Cassels-Tate, 3-descentes, $L$ -) para demostrar que $C_{m}$ representa un elemento de Sha.

Answer 2

Seiji Tomita encontró un quinto curva elíptica $E$ como $m = \frac{19^2}{61}$ con una solución explícita. En resumen, ahora hay siete "pequeños" primitivo soluciones a,

$$a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4 = z^4$$

o de forma equivalente,

$$(p-2q + r)^4 + (p-2q - r)^4 + (q + s)^4 + (q - s)^4 = (2p - 2q)^4$$

con $z$ menos de 60 millones:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline E&m&a&b&c&d&z&\text{by}&\text{year}\\ 1&\color{blue}{\frac{31^2}{61}}&5400& 1770& -2634& 955& 5491& \text{Brudno}&1964\\ 2&\frac{211}{175}&-31764& 7590& 27385& 48150& 51361& \text{Wroblewski}&2005\\ 3&\color{blue}{\frac{19^2}{61}}&1984340& -107110& 1229559& -1022230& 2084559& \text{Tomita}&2015\\ 3&\color{blue}{\frac{19^2}{61}}&3597130& -1953890& 561760& 1493309& 3698309& \text{Tomita}&2015\\ 4&\frac{157}{150}&841263& -792940& -44410& 3852350& 3856263& \text{Rouse}&2014\\ 5&\frac{31}{6}&39913670& -23859495& 15187700& 10116014& 41357889& \text{Rouse}&2014 \\ 5&\frac{31}{6}&53902630& 2542025& 35847220& -34122866& 58169009& \text{Rouse}&2014\\ \hline \end{array}$$

La variable $m$ se puede recuperar como,

$$m =\frac{3q^2+s^2}{p^2-r^2}$$

(No tengo ni idea de si $\displaystyle\frac{19^2}{61}$ y $\displaystyle\frac{31^2}{61}$ es sólo una coincidencia). Por cierto, como señaló Rouse, si $m$ es solucionable, entonces también lo es $m'=\frac{m+1}{m-1}$ . Por lo tanto, Tomita $m = \frac{211}{150}$ en su página web rinde $m' = \frac{19^2}{61}$ citado aquí.

Answer 3

No es una respuesta a la pregunta, sino una breve nota sobre cómo se puede encontrar relaciones algebraicas entre las cantidades $m_1, m_2, m_3, m_4, m_5, m_6$ . En primer lugar, verifiquemos directamente que sólo existe una relación entre $m_1$ y $m_2$ (utilizamos Calculadora de Magma ):

> A4<a,b,c,d>:=AffineSpace(Rationals(),4);
> S:=Scheme(A4,a^4+b^4+c^4+d^4-(a+b+c+d)^4);
> A<m1,m2>:=AffineSpace(Rationals(),2);
> f:=map<S->A|[(c^2+c*d+d^2)/((a+c+d)*(b+c+d)),
>    (a^2+a*b+b^2)/((a+c+b)*(b+a+d))]>; 
> Image(f);
Scheme over Rational Field defined by
m1*m2 - m1 - m2 - 1

Como puedes ver, la idea era construir un mapa apropiado a partir de la variedad afín $$S:=\{ (a,b,c,d) \in \mathbb Q^4 \ | \ a^4 +b^4 +c^4 +d^4=( a+b+c+d)^4 \} $$ al espacio afín bidimensional. Utilizando el mismo enfoque se obtienen todas las relaciones entre $m_1, m_3, m_5$ :

> A<m1,m3,m5>:=AffineSpace(Rationals(),3);
> f:=map<S->A|[(c^2+c*d+d^2)/((a+c+d)*(b+c+d)),
> (a^2+a*d+d^2)/((a+c+d)*(b+d+a)),
> (b^2+b*d+d^2)/((a+b+d)*(b+d+c))]>; 
> Image(f); 
Scheme over Rational Field defined by
m1^2*m3^2*m5^2 - 2*m1^2*m3^2*m5 + m1^2*m3^2 - 2*m1^2*m3*m5^2 + 2*m1^2*m3*m5 +
    m1^2*m5^2 + 3*m1^2 - 2*m1*m3^2*m5^2 + 2*m1*m3^2*m5 + 2*m1*m3*m5^2 -
    8*m1*m3*m5 + 2*m1*m3 + 2*m1*m5 - 6*m1 + m3^2*m5^2 + 3*m3^2 + 2*m3*m5 - 6*m3
    + 3*m5^2 - 6*m5 + 7