El Peano la plaza de llenado de la curva de $p:I\to I^2$ turn out ser Hölder continua con exponente $1/2$ en la unidad de intervalo de $I$ (una forma rápida de ver, se nota que $p$ es un punto fijo de una adecuada contracción $T:C(I,I^2)\to C(I,I^2)$, y el no vacío, cerrado subconjunto de las curvas con el módulo de continuidad $\omega(t):=ct^{1/2}$ es $T$-invariante, para una adecuada selección de $c$, por lo que el $p$ es de la misma).
Por la misma razón, más en general, de forma análoga $n$-cubo-el llenado de las curvas de $I\to I^n$ (por ejemplo, se describe en la misma Peano de papel) son Hölder continua con exponente $1/n$.
Por otro lado, para cualquier $1\le k\le n$, por consideraciones elementales sobre medidas de Hausdorff, no $\alpha$-Hölder mapa continuo $I^k\to I^n$ con exponente $\alpha > k/n $ puede ser surjective. El natural de preguntas, por lo tanto:
Dado $1\le k\le n$, no existe una $\alpha$-Hölder mapa continuo $I^k\to I^n$ con exponente $\alpha=k/n$? De lo contrario, ¿cuál es el mejor exponente $\alpha$ obtener para tal surjective mapa? En particular, hay una construcción simple para el caso de $I^2\to I^3$? (En realidad, podemos enfocar en esta última pregunta, que parece ser la más simple no trivial caso).
Resumiendo las observaciones anteriores, la respuesta es afirmativa si $k=1$ o si $k=n$, y también podemos notar que si por un par de $(k,n)$ hay un surjective mapa de $q:I^k\to I^n$, entonces el mapa de $(x_1,\dots,x_m)\mapsto (q(x_1), q(x_2),\dots ,q(x_m))$ es también un surjective mapa de $I^{mk}\to I^{mn}$ con el mismo exponente $k/n$ de % de$q$. También, podemos considerar que las composiciones de mapas, de manera que las respuestas afirmativas para $(k,n)$ e $(n,m)$ implica la respuesta afirmativa para $(k,m)$.
Actualización 08.01.16. La única respuesta recibida hasta el momento sugiere que un buen artículo, sin embargo, no relacionados con esta cuestión (la única teorema en que el papel que se ocupa de Hölder mapas es Thm 2.1, pero no tiene nada o muy poco que ver con el problema actual, ya que es acerca de $\mathbb{R}$valores de las funciones, que es $n=1$ (existencia de Hölder funciones en un espacio métrico que el mapa surjectively en un intervalo no trivial problema sólo para totalmente desconectados de los espacios).
