Buscando un problema / acertijo interesante que involucre integrales triples.

Question

¿Alguien sabe algún buen problema en el análisis real, cuya solución involucra integrales triples y que es adecuado para los estudiantes de Análisis del segundo semestre?

¡Gracias!

Answer 1

No es adecuado para ningún estudiante, pero no puedo resistirme a darlo:

$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{dxdydz}{3-\cos{x}-\cos{y}-\cos{z}} = \frac{\sqrt{6}}{96}\Gamma(\tfrac{1}{24})\Gamma(\tfrac{5}{24})\Gamma(\tfrac{7}{24})\Gamma(\tfrac{11}{24})$,

probado por GN Watson en 1939.

Answer 2

Problema de la taza de café: el volumen de la parte de un cilindro cortado por un avión, que representa el volumen del café que le queda cuando ve por primera vez el fondo de la taza. (El plano es horizontal, el cilindro está inclinado, el plano toca los dos círculos que delimitan el cilindro). Mucha integración

Answer 3

Los estudiantes pueden hacer $$ \ iiint _ {[0,1] ^ 3} \ frac {x ^ n (1-x) ^ ny ^ n (1-y) ^ nz ^ n (1-z) ^ n} { (1- (1-xy) z) ^ {n + 1}} \ dx \ dy \ dz, $$ al menos para$n=0$ y$n=1$. Estas son las integrales que producen las aproximaciones de Apery a$\zeta(3)$; el papel original es [F. Beukers, Bull. London Math. Soc. 11 (1979) 268-272].