Tipo de homotopía de Étale de los espacios analíticos no arquimédicos

Question

Lo siguiente es probablemente todo obvio para los expertos. Pero como el campo parece complicado para un forastero, tal vez se me disculpe por preguntar de todos modos.

Me pregunto sobre los hechos básicos de lo que naturalmente se llamaría el tipo de homotopía étale de buenas versiones de lisos no arquimédicos espacios analíticos rígidos . Sospecho que lo que busco funciona mejor para la suavidad Espacios analíticos de Berkovich pero mi principal interés no es estudiar un modelo fijo para los espacios analíticos, sino conocer aquellos modelos que sí tienen una buena teoría de homotopía étale. Por lo tanto, en lo sucesivo diré "espacio analítico" como abreviatura de "espacio rígido no arquimediano o de estilo Berkovich o de otro modo analítico, lo que mejor funcione".

Por el tipo de homotopía étale de tal espacio analítico quiero referirme a la definición, ojalá obvia, directamente análoga a la definición familiar en la geometría algebraica.

Ahora bien, al menos en la teoría de Berkovich ya existe un espacio topológico subyacente a un espacio analítico por medio de la Espectro analítico de Berkovich . Mi primera pregunta concreta es:

¿Es el tipo de homotopía étale de un espacio analítico suficientemente bien comportado equivalente al de su espacio topológico subyacente?

Berkovich demostró que el espacio topológico subyacente a un espacio liso analítico de Berkovich es localmente contractible (véase aquí ). Así que la pregunta anterior tiene la siguiente subpregunta:

¿Son los polidiscos y/o los dominios analíticos étale contractibles?

¿Son los espacios analíticos localmente étale contractibles?

(Este último es realmente el punto principal que persigo, ya que implicaría que el hipercompleto $\infty$ -sobre espacios analíticos es cohesivo por un argumento similar como para la geometría compleja-analítica. Esto es algo que me había preguntado aquí en MO hace un buen tiempo pero en realidad se reduce a saber que los espacios analíticos lisos son localmente étale contractibles).

Me imagino que, eventualmente, este tipo de preguntas deben ser especialmente interesantes cuando se combinan con un analítica no arquimédica mapa de algún tipo de esquemas aritméticos suaves. Entonces uno se preguntaría naturalmente si existe un análogo no arquimédico del teorema 5.2 en

• Daniel Dugger, Daniel Isaksen, Hipercubiertas en topología , 2005 ( Archivo de la teoría K )

que dice, en particular, que la analítica compleja envía hipercubiertas de esquemas suaves sobre $k \hookrightarrow \mathbb{C}$ a hipercubiertas de espacios topológicos/conjuntos simplificados. Parece natural preguntarse si este tipo de teorema tiene un análogo no arquimédico. ¿Qué se sabe?

Answer 1

Esto podría ayudar a aclarar su primera pregunta. El espacio topológico subyacente de la analítica de Berkovich de $X$ codifica la parte de peso cero de la cohomología de $X$ - es decir, la cohomología singular de $X^{an}$ es la cohomología de peso cero de $X$ . Véase, por ejemplo,

V. Berkovich, Una interpretación no arquimédica de los subespacios de peso cero de las estructuras mixtas límite de Hodge

En este documento,

Sobre el teorema de comparación para la cohomología étale de espacios analíticos no arquimédicos Israel J. Math. 92 (1995), 45-60.

Berkovich demuestra un teorema de comparación que dice, a grandes rasgos, que la cohomología etale algebraica y la analítica coinciden bajo algunas hipótesis suaves y razonables. Creo que esto debería implicar que el tipo de homotopía etale analítica coincide con el tipo de homotopía etale algebraica.

Answer 2

EDIT: Entiendo mucho mejor este tema después de un año de pensar en él. También voy a hacer publicidad descarada de mi nuevo preimpreso: https://arxiv.org/abs/1708.03657

Después de un largo tiempo pensando en esto, puedo responder con bastante seguridad lo siguiente.

El modelo exacto de geometría no arquimédica con el que se trabaja no importa tanto. En la situación en la que las categorías adecuadas de los espacios de Berkovich, los espacios rígidos y los espacios adic están definidos y son equivalentes, en realidad tienen tipos de homotopía étale equivalentes. En realidad, hay distinciones sutiles entre la teoría étale de los espacios de Berkovich y los otros dos, por ejemplo, el topos étale del espacio de Berkovich es más pequeño que el topos étale del espacio adic correspondiente, sin embargo, no importan cohomológicamente.

¿Es el tipo de homotopía étale de un espacio analítico suficientemente bien comportado equivalente al de su espacio topológico subyacente?

No. Incluso $\mathbb{P}^1$ puede no ser étale simplemente conectado, aunque el espacio subyacente sea simplemente conectado. Es cierto, en una amplia generalidad, que la cohomología étale racional coincide con la cohomología singular racional del espacio subyacente. Es de suponer que se puede convertir esto en una equivalencia de "tipos de homotopía racional étale", salvo que los progrupos fundamentales no serán frecuentemente triviales.

¿Son los polidiscos y/o los dominios analíticos étale contractibles?

No. El pro-grupo fundamental(oid) de la forma de un $\infty$ -topos clasifica los sistemas locales en la forma. Los sistemas locales en la forma se encuentran en una biyección ligeramente funcional con tramas localmente constantes internas al topos. Las láminas localmente constantes son representables y, por tanto, el progrupo fundamental (oid) coincidirá con el definido por A.J. de Jong. En particular, la respuesta de Jérôme muestra que los polidiscos pueden ser ya no simplemente conectados.

¿Son los espacios analíticos localmente étale contractibles?

En característica mixta o positiva, esperaría que no. Incluso en característica pura cero, si no estás sobre un campo algebraicamente cerrado no arquimédico la respuesta debe seguir siendo no ya que la cohomología de Galois del campo será vista por el espacio analítico. Un buen lugar para empezar a buscar podrían ser los espacios analíticos sobre el anillo de series de Puiseaux $\mathbb{C}((\cup_n t^{1/n}))$ donde podría ser posible.

Answer 3

No puedo decir que esté familiarizado con los tipos de homotopía étale, pero espero que la siguiente observación sea relevante: sobre un campo $k$ de característica mixta $(0,p)$ con $p>0$ un disco cerrado tendrá coberturas étale no triviales de grado $p$ . Consideremos, por ejemplo, la cubierta definida por $Y^p = 1+X$ sobre un disco cerrado (con coordenadas $X$ ) de centro 0 y radio $r<1$ lo suficientemente cerca de 1 (para que la tapa no esté dividida).