¿Cuándo es un espacio topológico la homotopía colimit de una cubierta abierta?

Question

Suponga que$X$ es un espacio topológico y$\left(U_i \to X\right)$ es una cubierta abierta. Podemos asociarle el diagrama Cech de esta portada$$C_U:\Delta^{op} \to Top.$$ I know that for many good classes of topological spaces, the homotopy colimit of $ C_U$ is $ X$ (e.g. for manifolds). How general is this result? Does it hold e.g. for locally contractible spaces? I believe that In general $ X$ is (weakly) homotopy equivalent to the fat geometric realization of $ C_U $ (por ejemplo, ver Cor. 4.8 aquí: http : //arxiv.org/abs/0907.3925 ), pero para un espacio simplicial general, esto no tiene por qué estar de acuerdo con hocolim. Cualquier comentario o referencia sería apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

El libro de Tammo tom Dieck "Topología algebraica" (EMS 2008) tiene la Sección 13.2 sobre el "colimito de homotopía de una cubierta" que debe encontrar relevante.