¿Existe un algoritmo para escribir las 27 líneas de una superficie cúbica?

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie cúbica lisa definida por $f\in \mathbb Q[x,y,z,w]$ . ¿Existe un algoritmo para escribir las 27 líneas en $S$ ? O al menos encontrar una extensión de campo de $\mathbb Q$ sobre las que se definen estas líneas?

Answer 1

Este trabajo del Grupo de Geometría Algebraica de Maguncia puede ayudar:

Duco van Straten y Oliver Labs. Introducción visual a las superficies cúbicas con el programa informático Spicy . Springer Berlin Heidelberg, 2003.
Breve artículo de Dagstuhl de 2001 (12 páginas): Enlace de descarga del PDF .

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He aquí un pequeño fragmento de la página 6 (de su artículo sobre Dagstuhl). Toman como entrada seis puntos $\{P_1,\ldots,P_6\} \subset \mathbb{P}^2$ en el plano en posición general:

 

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Answer 2

Una vez que tenga los seis puntos en $\mathbb{P}^2$ hay un algoritmo muy fácil para dar la superficie cúbica y la $27$ líneas. En primer lugar, el mapa a $\mathbb{P}^3$ corresponde a los cúbicos a través de los seis puntos. Así que se pueden elegir las reducibles (unión de tres líneas que pasan por $2$ ) y obtener generadores $(f_0:\dots:f_3)$ . Entonces, se encuentra la ecuación poniendo el $f_i$ en un polinomio de grado $3$ y resolver la ecuación lineal sobre los coeficientes.

Entonces, el $27$ son las transformaciones estrictas de las líneas a través de $2$ puntos, cónicos a través de $5$ puntos y los divisores excepcionales. Si se tienen los puntos y los $f_i$ esto es algorítmico.

Para simplificar el cálculo, puedes elegir los puntos y escoger (sobre un campo algebraicamente cerrado) $[1:0:0]$ , $[0:1:0]$ , $[0:0:1]$ , $[1:1:1]$ , $[1:a:b]$ , $[1:c:d]$ .

La única parte no algorítmica es partir de la cúbica para encontrar la contracción a $\mathbb{P}^2$ . Esto corresponde a encontrar líneas en la cúbica y entonces es más complicado (y en general no hay solución con radicales, como explica David Speyer).

Obsérvese que el mismo tipo de algoritmo funciona con superficies del Pezzo de grado $4$ , $2$ , $1$ . Lo hice a menudo con Maple con puntos dados.

Answer 3

Aquí hay otro lugar donde buscar un algoritmo: puedes encontrar una descripción de cómo calcular las ecuaciones homogéneas para las coordenadas de Plücker de las líneas en una superficie cúbica en el tutorial de Macaulay 2 en

http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/doc/Macaulay2-1.6/share/doc/Macaulay2/Macaulay2Doc/html/___Tutorial_co_sp__Fano_spvarieties.html .

Lo que encontrará allí es esencialmente el mismo procedimiento que en el código Sage de Jim Carlson mencionado en los comentarios anteriores, pero quizás sea un poco más fácil de leer. El tutorial también discute el problema general de calcular ecuaciones para la variedad Fano (esquema) de una variedad proyectiva.