La noción de "Cauchy real" siempre es un poco ambiguo: depende de lo que usted llama una secuencia de Cauchy. Para el argumento de que siga necesito una noción de Cauchy secuencia geométrica (es clasificado por una configuración regional). Dos ejemplos de este tipo (la definición de dos espacios diferentes de Cauchy Real) son:
Una secuencia de Cauchy es una secuencia de racional que convergen (con sólo el cuantificador existencial) en el espacio de Dedekind real.
Una secuencia de Cauchy es una secuencia de racional tal que $|x_n - x_{n+1} |<1/n^2$ para todos los $n$.
El punto es que con esa definición, la teoría de Cauchy secuencias se clasifica por una configuración regional $K$ que está dotado con un mapa de "límite" para la configuración regional de $\mathbb{R}$.
Afirmo que el mapa de $K$ a $\mathbb{R}$ es un muy lindo surjection. Podría no ser un surjection por sí mismo (y claramente no es correcto), pero hay un abrir surjection $X \rightarrow \mathbb{R}$ que los factores en $K$ (ver más abajo), por lo tanto $K \rightarrow \mathbb{R}$ es un eficaz descenso de morfismos y, en particular, de una forma estable y regular epimorphism de locales.
Deje $\mathcal{L}$ ser una clase de locales, que contiene tanto $K$ e $\mathbb{R}$ y se mantiene estable en abrir el subespacio y producto de fibra. Y poner un Grothendieck topología en lo que es subcanonical y contener nuestra surjection $K \rightarrow \mathbb{R}$ así como de la ope de cobertura (la topología generada por la apertura de surjection, canónica de la topología de $\mathcal{L}$, canónica de la topología de la categoría de la localidad o la topología de efectivo descenso de morfismos de locales están todas las soluciones aceptables). deje $\mathcal{T}$ será la resultante de topos de Grothendieck de las poleas.
No podría ser cierto que el objeto de Dedekind real está representado por la configuración regional de $\mathbb{R}$. Pero si $X$ es un pro-discreta configuración regional en $\mathcal{L}$ a continuación, el objeto de los puntos de $X$ en $\mathcal{T}$ está representado por $X$ : de Hecho esto es claramente cierto si $X$ es un discreto local y pasar a proyectivos límite. También aparece (ver $C)$ por debajo) de que esto también es cierto cuando se $X$ es sólo un sub-regional de un pro-discreto de la configuración regional. La configuración regional para secuencias de Cauchy dada anteriormente es pro-discretos por lo que este aplicables, por lo que el objeto de secuencias de Cauchy en $\mathcal{T}$ está representado por $K \in \mathcal{L}$.
El espacio de Cauchy real es en cualquier lugar descrito como el cociente entre el objeto de los puntos de $K$ por la relación de equivalencia de puntos de $K \times_{\mathbb{R}} K $, que también es un sublocale de un pro-discreto de la configuración regional. El objeto de Cauchy real es el cociente en $\mathcal{T}$ del objeto representado por $K$ por la relación de equivalencia representado por $K \times_{\mathbb{R}} K $ pero, como hemos elegido la topología de modo que $K \rightarrow \mathbb{R}$ es una cubierta de este cociente es el objeto representado por $\mathbb{R}$.
El objeto de endomorphisms del objeto de Cauchy reales es entonces sólo la gavilla que a cualquier configuración $A \in \mathcal{L}$ asocia el conjunto de funciones continuas de $A \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y están internamente continua (para ser honesto, yo aun no comprobado que la última reclamación, pero que parecen razonables).
Apéndice: aquí están algunas aclaraciones.
A) El abrir surjection $X \rightarrow K \rightarrow \mathbb{R}$.
Trabajamos internamente en $\mathbb{R}$. Uno tiene la universal de Dedekind número real $x$ correspondiente a la identidad $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.
Para cada entero positivo $n$ el conjunto $A_n$ de los números racionales $q$ tal que $|x-q|<2^{-n}$ está habitada (este es uno de los caracterización de Dedekind números). a continuación, puede definir la configuración regional de $X$ (todavía internamente en $\mathbb{R}$) como $X =\prod_{n \in \mathbb{N}} A_n $. Habitada conjunto es en particular un abrir surjection al punto, y es un clásico lema constructiva en la configuración regional de la teoría de que un producto indexado por un decidable conjunto de configuraciones regionales con una surjection hasta el punto de tener también un abrir surjection para el punto (esto es una especie de versión dual de la Tychonov teorema para los locales).
Así que hemos construido una configuración regional $X$ con una surjection a $\mathbb{R}$. Se puede comprobar que la definición de la $A_n$ es geométrica y por lo tanto estable bajo inversa de la imagen functor y que producto de las localizaciones son estables bajo inversa de la imagen functors (obviamente porque inversa de la imagen functor se retroceso en la categoría de las localizaciones). Por lo tanto, (externamente ahora) $X$ clasifica a la teoría, cuyo modelo es el de los datos de un número real $r$ junto con una secuencia de números racionales $a_n$ tal que para todo $n$ $|a_n - r| < 2^{-n}$, el mapa de a $\mathbb{R}$ sólo olvidar la secuencia. La secuencia de $a_n$ le dará una Cauchy sucesión convergente a $r$ y por lo tanto tiene un mapa de este lugar a la configuración regional de $K$. (de hecho, dependiendo de su definición de $K$ usted podría ser capaz de demostrar de esta manera que $K \rightarrow X$ sí, es una abierta surjection.
B) La precisa definición de la configuración regional de $K$ para los dos ejemplos de definición de secuencias de Cauchy me dio anteriormente:
Para la primera, $K$ es el producto de fibra para $[\mathbb{N},\mathbb{Q}]$ e $[\mathbb{N}^{\infty},\mathbb{R}]$ sobre $[\mathbb{N},\mathbb{R}]$ donde $\mathbb{Q}$ tiene la topología discreta y $\mathbb{N}^{\infty}$ es todavía el espacio compacto con una secuencia de puntos y su límite.
Para la segunda definición, $K$ es sólo un (cerrado) el subespacio de la exponencial de la configuración regional de $[\mathbb{N},\mathbb{Q}]$ definida por las desigualdades en la definición.
C) Para cualquier sub-regional $X$ de un pro-discreta configuración regional en $\mathcal{L}$ El objeto de $\mathcal{T}$-punto de $X$ es el gavillas representado por $X$.
Deje $U$ ser un subespacio de $X$ un pro-discreto de la configuración regional. A continuación, lo cierto es que el espacio de los puntos de $U$ en $\mathcal{T}$ está representado por $U$: de hecho si $U$ es un abierto básicos, a continuación, $U$ es en sí mismo un pro-discreto regional, y de lo contrario, $U$ es una unión de abierto básicos y propiedades de este también pasa a la unión tan pronto como suponemos que la topología en $\mathcal{L}$ contiene abrir la cubierta.
Ahora porque un pro-discreta configuración regional es regular, cualquier sublocale es un punto de intersección de abrir sublocale y por lo tanto puede ser escrito como una proyectiva límite de los locales, que satisface las propiedades de este.
D) ¿Qué pasará con Dedekind reales en $\mathcal{T}$ ?
ASÍ que este topos $\mathcal{T}$ como un objeto $\Omega'$ clasificados por la Sierpinski regional (si es en $\mathcal{L}$ o no), que es un subobjeto de la sub-objeto clasificador. Debido a que uno disponer internamente de una noción de "buen subobjeto" o "abrir subobjeto": por la definición de los sub-objetos cuya clasificación del mapa de la tierra en $\Omega'$, y por lo tanto internamente $\Omega'$ si el objeto de niza subobjeto de $\{*\}$. Uno puede ver fácilmente que $\mathbb{R}$ es exactamente el objeto de "agradable Dedekind real",que es de dos caras dedekind corte, de tal manera que los dos son bonitos subobjeto de $\mathbb{Q}$. Pero yo no veo ninguna razón para que cualquiera de los dos sidded dedekind cortar a ser "agradable". De hecho, cuando se amplía $\mathcal{L}$ el subobjeto clasificador de convertirse en más grande y más grande mientras que $\Omega'$ permanece más o menos igual, por lo tanto una imagen de que la situación peor y peor... pero yo aun no ha sido capaz de encontrar un ejemplo de un no buen Dedekind real, por otra parte el hecho de que el mismo debate se aplican cuando la topología es sólo la topología de abrir la cubierta y que en este caso no hay "no agradable" dedekind real sugieren que aún se puede esperar que la Dedekind real y la de Cauchy real son el mismo.
