Krull del Hauptidealsatz (principal ideal teorema) dice que para que un Noetherian anillo de $R$ y cualquier $r\in R$ que no es una unidad o cero-divisor, todos los números primos de un mínimo de más de $(r)$ son de la altura 1. Qué mal puede este error si $R$ es un no-Noetherian anillo? Por ejemplo, si $R$ no es Noetherian, es posible que haya un mínimo de prime sobre $(r)$ de infinito altura?
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Brent
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La valoración de los anillos demuestran claramente el fracaso de Krull del director de ideal teorema: tomar una valoración de anillo O de dimensión finita. El primer ideales, a continuación, forman una cadena
$p_0:=0\subset p_1\subset\ldots\subset p_d$
de modo que para cada $i\in\{1,\ldots ,d\}$ existe $r_i\in p_i\setminus p_{i-1}$. Obviamente $p_i$ es un mínimo prime sobre $r_iO$.
Para la valoración de los dominios de dimensión infinita uno tiene que considerar el llamado límite de los números primos: un primer ideal $p$ de un anillo conmutativo $R$ se llama límite-el primer si
$p=\bigcup\limits_{q\in\mathrm{Spec} (R): q\subset p}q$.
Existen valoración de dominios $O$ de infinito Krull dimensión tal que la máxima ideal $m$ de % de $O$ es sin límite-prime. Tomar, por ejemplo, un anillo de valoración tales que el valor correspondiente grupo es
$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\ldots$ (countably muchos factores ordenó lexigraphically).
Entonces uno puede encontrar $r\in m$ tal que $m$ es mínima más de $rO$.
H
Creo que la respuesta es sí.
De hecho, hay ejemplos de integral dominios $D$ de manera tal que todos los no-cero el primer ideal de $D$ tiene una infinidad de altura.
Mire el documento
"Anti-arquímedes anillos y el poder de la serie de los anillos"
D. D. Anderson; B. G. Kang; M H. Park
Comunicaciones en Álgebra, 1532-4125, Volumen 26, número 10, 1998, Páginas 3223 – 3238.
