Miré el documento de Wall Problemas de clasificación en topología diferencial. V Sobre ciertos 6-manifolds . En el teorema 3 de ese artículo, Wall describe algunos invariantes de los 6 pliegues principales y la relación entre ellos. Estos invariantes, en el caso que nos ocupa, vienen dados por:
- El grupo abeliano $H = \mathbb{Z} = H^2(M;\mathbb{Z})$ y el grupo cero $G = 0 = H^3(M; \mathbb{Z})$ .
- La forma trilineal simétrica $\mu: \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{Z}$ dado por $\mu(x,y,z) = \langle xyz, [M]\rangle$ es decir, tomar el producto de la copa y emparejarlo con la clase fundamental. Para el anillo de cohomología que especifica esto es sólo el mapa de multiplicación de 3 veces "xyz".
- $p_1: H = \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , que es su número entero $n$ correspondiente a la 1ª clase de Pontryagin.
- Un elemento $w_2 \in H / 2H \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (2ª clase de Steifel-Whitney), que tiene una elevación integral $W_2 \in \mathbb{Z}$ .
Estas invariantes satisfacen necesariamente tres relaciones para un $x, y \in H$ : $$ \mu(x,y,x+y + W_2) \equiv 0 \; \; \; \textrm{mod 2} \\ p_1(x) \equiv \mu(x,W_2, W_2) \; \; \; \textrm{mod 4} \\ p_1(x) \equiv \mu(x,x,x) \; \; \; \textrm{mod 3}$$
La primera ecuación, con el $\mu$ implica que $W_2$ está en paz. Así que $w_2=0$ y el colector es espín (más bien "espinable"), que es lo que Wall llama "condición (H)". A continuación, las demás ecuaciones imponen otras condiciones sobre los valores permitidos de $p_1 \leftrightarrow n$ . En particular, vemos que $n$ tiene que ser un múltiplo de 4 y es congruente con 1 mod 3.
Todo esto surge de algunas observaciones sobre las relaciones necesarias entre estas invariantes. No hemos tocado en absoluto el problema de la realización, es decir, cuál de las posibles $n$ ¿realmente provienen de 6-manifolds?
El muro también nos ayuda en eso. Da un análisis más cuidadoso en el caso de las variedades que satisfacen la "condición (H)". En ese caso (su tm 5) las clases de difeomorfismo de las variedades corresponden bijetivamente a sistemas de invariantes $(H,G, p_1, \mu)$ como antes, con dos relaciones $$ \mu(x,x,y) \equiv \mu(x,y,y) \; \; \; \textrm{mod 2} \\ p_1(x) = 4 \mu(x,x,x) \; \; \; \textrm{mod 24}$$ Nótese que la última condición es más fuerte que las anteriores. Algunos valores de $n$ no se producen.
En el caso que nos ocupa, en el que $H = \mathbb{Z}$ , $G=0$ y $\mu$ es el mapa trilineal estándar del "producto triple", la primera ecuación se satisface, y la segunda condición nos dice que $$ n = 4 + 24k $$ para algún número entero $k$ .
Por último, Wall también nos dice cómo construir este colector. Se puede realizar como una cirugía sobre un nudo enmarcado $S^3 \times D^3 \hookrightarrow S^6$ . Específicamente es una cirugía sobre el nudo enmarcado con invariantes $\varphi = -k$ y $\beta' = 1 + 6k$ . Estos invariantes de nudo se discuten ampliamente en las secciones 4 y 5 del documento de Wall, que tiene otras referencias.
