Tengo el libro de Toda Métodos de composición en grupos de homotopía de esfera.
No he encontrado el generador de $\pi_9(S^3)=\mathbb{Z}_3$ .
¿Qué es?
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Patrick McElhaney
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$$S^3 \to \Omega \widehat{S}^4 \to \Omega S^{11}$$
es un fibrado $3$ - localmente. Afirmo que $(\pi_9 \Omega\widehat{S}^4)_{(3)}=0$ en cuyo caso su elemento debe estar en la imagen de $\pi_{10}\Omega S^{11}=Z$ bajo el mapa de límites de la secuencia anterior.
Para demostrar mi afirmación, apelo a (i) la $3$ -secuencia de fibrado primario $\widehat{S}^4\to \Omega S^5\to \Omega S^{13}$ y (ii) wikipedia que me dice que no hay $3$ -torsión en el $6$ -sistema de $S^5$ (o, simplemente usar más secuencias Toda para llegar al rango estable).
Ian Agol
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Un generador puede deducirse indirectamente de la siguiente manera (utilizando sólo la información disponible en Hatcher's Topología algebraica (AT)):
Uno tiene un haz de fibras $$Sp(n-1)\to Sp(n)\to S^{4n-1}$$ (p. 383, ejemplo 4.55 de AT ). Tomando $n=2$ , nosotros tenemos un haz de fibras $$S^3=\mathbb{H}^1=Sp(1)\to Sp(2) \to S^7.$$
A partir de la secuencia exacta larga de grupos de homotopía (Thm. 4.41 AT), tenemos $$\cdots \to \pi_{10}(S^7)\to \pi_9 Sp(1)\to \pi_9 Sp(2) \to \cdots$$ que es exacta en $\pi_9 Sp(1)$ .
De nuevo desde los haces de fibras $$Sp(2)\to Sp(3)\to S^{11}, Sp(3)\to Sp(4)\to S^{15}, \ldots$$ y larga secuencia exacta, vemos que estamos en el rango estable, por lo que $$\pi_9 Sp(2)=\pi_9 Sp(3) = \cdots = \pi_9 Sp(\infty) = \pi_5 O(\infty)= 0$$ por Periodicidad de Bott (p. 384 Hatcher).
Así que tenemos una suryección $$\mathbb{Z}_{24} =\pi_{10} S^7\twoheadrightarrow \pi_9 S^3.$$
Por el teorema de suspensión de Freudenthal (p. 360, Cor. 4.24 Hatcher), y por la tabla de la p. 339 de AT, $$\mathbb{Z} + \mathbb{Z}_{12} \cong \pi_7 S^4 \twoheadrightarrow \pi_8 S^5 \cong \pi_9 S^6 \cong \pi_{10} S^7 \cong \mathbb{Z}_{24}.$$
Además, el $\mathbb{Z}$ factor de $\pi_7 S^4$ es generado por el mapa de Hopf $\nu$ (Ejemplo 4.46, 1er párrafo p. 385 AT) asociados a los cuaterniones $$S^3 \to S^7 \overset{\nu}{\to} \mathbb{HP}^1=S^4$$ Por lo tanto, $\langle \nu \rangle \cong \mathbb{Z} \leq \pi_7 S^4$ debe someterse $\mathbb{Z}_{24}=\pi_8 S^5$ bajo el mapa de la suspensión.
Resumiendo, vemos que $$ \pi_7 S^4 \geq \langle \nu\rangle \twoheadrightarrow \pi_{10} S^7 \twoheadrightarrow \pi_9 S^3,$$ donde la primera suryección proviene de la triple suspensión, y el último mapa es el mapa de conexión en la secuencia exacta de la fibración.
El mapa de conexión se induce a partir del mapa de isomorfismo y frontera $\pi_{10} S^7 \cong \pi_{10} (Sp(2),Sp(1)) \overset{\partial}{\to} \pi_9 Sp(1)$ . Para entender esto geométricamente, supongo que hay que entender la prueba del isomorfismo, que requiere una elevación $D^{10} \to Sp(2)$ levantar el mapa $D^{10} \to S^7$ . Creo que podría ser posible describir este mapa de forma bastante explícita utilizando coordenadas, por ejemplo, utilizando una conexión para el haz.
Thalberg
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36
Esta es otra forma de describir el generador de $\pi_9(S^3)\cong\mathbb{Z}/3$ .
Por la Proposición 13.6 del libro de Toda, y los comentarios que la preceden, un generador está dado por la composición $$ S^9 \stackrel{\alpha_1(6)}{\longrightarrow} S^6 \stackrel{\alpha_1(3)}{\longrightarrow} S^3 $$ donde $\alpha_1(3)\in \pi_6(S^3)\cong\mathbb{Z}_{12}$ es un generador del $3$ -componente principal y $\alpha_1(6)=E^3\alpha_1(3) \in \pi_9(S^6)\cong\mathbb{Z}_{24}$ es su tercera suspensión.
El elemento $\alpha_1(3)$ tiene un representante geométrico muy bonito descrito en mi respuesta aquí . Explícitamente, dejemos que $\mathbb{H}$ denotan los cuaterniones, y representan el $6$ -esfera como $$ S^6 = \{(p,w)\in \mathbb{H}\times\mathbb{H} \mid \mathfrak{Re}(p)=0\mbox{ and } |p|^2+|w|^2=1\}. $$ El mapa $b:S^6\to S^3\subseteq \mathbb{H}$ viene dada por $$ b(p,w) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{w}{|w|} e^{\pi p} \frac{\overline w}{|w|}, & w\neq 0 \\ -1, & w=0, \end{array}\right. $$ donde $e^{\pi p} = \cos(\pi |p|) + \sin(\pi|p|) \dfrac{p}{|p|}$ es la exponencial cuaterniónica.
Esta descripción aparece en el documento
Abresch, U.; Durán, C.; Püttmann, T.; Rigas, A. , Métricas Wiedersehen e involuciones exóticas de esferas euclidianas J. Reine Angew. Math. 605, 1-21 (2007). ZBL1125.57017 .
