Probar que el axioma de elección es necesaria con el fin de demostrar algo más.

Question

Mi formación matemática es quizás un poco escaso en este tema, pero he estado buscando y no he venido para arriba con una respuesta satisfactoria a esta pregunta. No tengo idea de cómo abordar el problema o si se ha contestado.

He visto numerosos casos en que se afirma que "el axioma de elección es necesaria" para completar una determinada prueba, pero yo todavía no he visto un caso en el que la necesidad de que el axioma de elección es la realidad en sí demostrado.

Por ejemplo, considere la siguiente pregunta: Aditivo función $

Answer 1

Vamos a tomar los axiomas de grupo. Tenemos un operador binario, $*$, y los axiomas estado que no es un elemento neutro, $e$, y que $*$ es asociativa, y para cada $x$ hay $y$ tal que $x*y=e$.

Pregunta. Es cierto que para cada $x,y$ sostiene que $x*y=y*x$?

Bueno, hay infinidad de pruebas de estos un número finito de axiomas. Entonces, ¿cómo podemos saberlo? Comprobando uno por uno, es inútil.

La respuesta es que si esto era demostrable, entonces cada modelo de los axiomas también satisfacer la anterior propiedad. En otras palabras, cada grupo sería conmutativa. Así que si podemos encontrar un grupo que no es conmutativa, entonces, que efectivamente demostrado que los axiomas de un grupo no son suficientes para probar que para cada $x$ e $y$, $x*y=y*x$.

Y de hecho, no es difícil de encontrar no-conmutativa grupos.

Así que, volviendo a $\sf ZF$ e $\Bbb Q$-lineal de operadores en $\Bbb R$. ¿Cómo podría usted demostrar que $\sf ZF$ no es suficiente para demostrar la existencia de tales discontinuo operadores? Bien, tendría que mostrar que existen modelos de $\sf ZF$ en los que no hay ningún tipo de operadores.

Ahora nosotros sabemos que cualquier $\Bbb Q$-lineal operador que es también Baire medible es continua (también se puede utilizar Lebesgue medición, por ejemplo). Así que si podemos encontrar un modelo de $\sf ZF$ en la que cada función lineal es Baire medible, entonces cada uno de esos función también es continua.

Y, de hecho, esto se muestra posible por Solovay, y posteriormente mejorado por el Sela. En otras palabras, se exhiben los modelos de $\sf ZF$ , en la que cada función $f\colon\Bbb{R\to R}$ es de Baire medibles, y en particular, $\Bbb Q$-lineal operador. Así que cada operador es continua.

Estas construcciones son muy técnicos, utilizando no sólo la técnica de forzar, sino también las técnicas extendidas de simétrica extensiones, y a menudo dependiendo de teoremas en el análisis. Pero con el tiempo, uno puede aprender de ellos.

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TL;DR: Para demostrar que algunos axiomas no probar una declaración, es generalmente más fácil de demostrar que no es un modelo de los axiomas donde la afirmación es falsa. Esto es cierto para $\sf ZF$ así.

Para demostrar que el axioma de elección es necesaria para probar la existencia de algo que tenemos que mostrar que:

1. $\sf ZFC$ implica este algo, y
2. hay un modelo de $\sf ZF$ donde este algo es falso.

La parte difícil-conceptualmente-es conseguir su cabeza alrededor de los modelos de $\sf ZF$, porque es el fundamento de las matemáticas. Pero una vez que usted ha pasado a través de ese paso, el resto es sólo un tecnicismo.