Teorema de Bryant en dimensiones superiores

Question

Tengo la siguiente pregunta. He leído acerca de Bryant teorema que dice que: "real-analítica en 3 dimensiones de Riemann colector $(Y,g)$ real analítica métrica $g$ puede ser isométricamente incrustado como un especial de Lagrange submanifold de algunos Calabi-Yau colector $(X, \Omega, \omega)$. Mi pregunta es: ¿este resultado también se mantenga en dimensiones mayores que 3? O hay alguna posibilidad de establecer esto? Gracias de antemano.

Mira

Answer 1

En primer lugar, las hipótesis del teorema he demostrado que requieren $Y$ ser compacto y orientado, además, a la necesidad de que $g$ ser real-analítica.

Segundo, el método que he utilizado (el Cartan-Kähler Teorema) se extiende, esencialmente sin modificaciones, para mayor dimensiones tan largo como $Y$ es compacto y parallelizable y $g$ es real-analítica.

Real-analiticidad es sin duda necesario, desde un mínimo de submanifold de un real-analítica de Riemann colector (tales como Calabi-Yau colector en cualquier dimensión) es necesariamente real-analítica de sí mismo.

Por el contrario, no todos los especiales de Lagrange submanifolds de Calabi-Yau se parallelizable. Por lo tanto, parallelizability no es necesario en general, pero no sé cómo quitar la hipótesis de que en la existencia de la prueba. Por ejemplo, no sé si cada real de la analítica de métrica en la $S^4$ es obtenible mediante su inclusión como un especial de Lagrange en algunos $4$-dimensiones de Calabi-Yau.