¿Cómo Fermat principio de hacer que la luz de elegir un camino recto a través de una ruta corta?

Question

Este es un experimento de pensamiento, donde me han hecho una "C" en forma de agujero en el interior del diamante. El índice de refracción $(\mu)$ de diamante es de 2.45. Decir que brille un láser desde la parte superior de la "C" como se muestra.

Mis cálculos muestran que la luz que llega a Una puede llegar a B en el menor tiempo posible si ha ido a través de la "C". pero estoy bastante seguro de que la perpendicular del haz láser viaja undeflected y hacia abajo. Aunque no tengo evidencia experimental, veo algo mal con mi intuición o con la teoría. Sería genial si alguien pudiera aclarar.

* "a" en el diagrama es el espesor de la corte y del todo comparable distancias se pueden tomar 'una'.

Answer 1

Como otros han dicho, Ese principio dice que el camino que la luz sigue es estacionaria en lugar de un mínimo de longitud del camino óptico (aunque, de hecho, normalmente es un auténtico local mínimo). El punto más importante, sin embargo, es que esto es necesario pero no suficiente condición para una determinada trayectoria seguida por la luz. Este es un mathy manera de decir que puede haber varios caminos que son extremos locales de la longitud del camino, pero la luz no necesitan seguir todos ellos.

Este es un típico problema con variacional argumentos. Lo mismo puede suceder con una enorme partícula que tiene la opción de seguir cualquiera de las dos rutas de acceso a un extremo. Feynman, considerados como tales escenarios en el desarrollo de su ruta de abordaje integral de la mecánica cuántica, pero incluso para la mecánica clásica es un interesante caso de estudio. Si a solucionar los Euler-Lagrange ecuación para tal sistema, usted encontrará que hay dos caminos que hacen que la acción estacionaria, es decir, los dos caminos por los que la partícula puede seguir para llegar desde su punto de partida hasta su punto final. Pero sabemos que un clásico partícula sólo seguir una ruta de acceso, por lo que tomará?

Matemáticamente, el problema aquí es que los problemas variacionales normalmente son planteados como problemas de valor de frontera-especificamos donde la partícula debe iniciar y donde se tiene que acabar. A diferencia de valor inicial problemas de valor en la frontera problemas no tienen soluciones únicas. Pero en la vida real, que en realidad no control donde la partícula termina. Lo que realmente control es la posición inicial de la partícula y la velocidad-es decir, hemos creado un problema de valor inicial, una ecuación diferencial para la que no hay una única solución matemática. Después de enviar la partícula y ver donde termina, podemos entonces usar su ubicación final y el de Euler-Lagrange ecuación para ver el camino que tomó para llegar a la estación, pero puede haber varias soluciones.

Lo mismo sucede en los sistemas ópticos. Cuando se dispara un láser, se debe especificar las condiciones iniciales del haz de láser con la posición del láser y la dirección a la que apunta. Esto establece un valor inicial problema que tiene una solución única. Después de averiguar donde la viga se va, a continuación, puede utilizar los puntos inicial y final de la viga junto con Fermat principio de averiguar el camino que tomó para llegar allí. Pero usted puede encontrar que hay múltiples soluciones a principio de Fermat, y usted necesidad de utilizar el sentido común o algunos datos discretos acerca de la orientación del láser para averiguar cuál de ellos es el correcto.

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Algunas observaciones finales sobre el caso particular que usted está considerando. El real más corta ruta de acceso en el sistema de dibujado en el OP sería que yendo en línea recta desde el punto a hasta la esquina interior de la "C", luego por el límite entre el aire y el diamante a la otra esquina, y luego todo recto hasta el punto B. Una característica curiosa de este camino es que las perturbaciones infinitesimales para el segmento de la ruta a lo largo de la frontera de aire y el diamante, el resultado sería en discontinuo cambios en la longitud del camino, porque si usted presiona la ruta de acceso desde el lado de aire para el diamante de lado la longitud obtiene 2.45 veces más. Esto significa que de costumbre cálculo variacional argumentos (como los utilizados en la obtención de Euler-Lagrange ecuación) no funcionan, pues asumen suave variación de la acción (es decir, la longitud del camino óptico) con pequeñas perturbaciones de la ruta. Así que tienes que ser más cuidadoso en este caso. De hecho, físicamente no hay luz normalmente siempre seguir este camino (al menos en el plano de la óptica geométrica), porque no hay nada "doblar la luz alrededor de la esquina".

Otra característica interesante de este sistema es que puede (dependiendo de la posición exacta de a y B) ser de otro local extremal camino de a a B, es decir, la que entra en el diamante en un ángulo, se somete a la reflexión total interna en el aire diamantes de la interfaz, y luego rebota a B. Así que si usted tiene una bombilla de luz (el que envía la luz en todas las direcciones) en el punto a y alguien sentado en el punto B, de la persona en B, se ven dos luces, uno de la línea recta a Una y otra venida en un ángulo desde la izquierda. Este es otro ejemplo de las advertencias sobre el principio de Fermat-si la luz no tiene una dirección inicial, puede seguir varios estacionaria caminos!

Answer 2

Como el artículo de la Wikipedia sobre el principio de Fermat establece en su introducción, este principio, como el principio de "menos" de la acción, es propiamente dicho, no como la luz de tomar el camino con el mínimo de tiempo necesario, pero con estacionaria tiempo con respecto a las variaciones de la ruta.

Answer 3

TL;DR: Esto es básicamente porque Fermat principio es estrictamente hablando un principio de estacionario en vez de menos tiempo. Tenga en cuenta que estacionarias rutas entre 2 puntos no necesitan ser únicos ni existe. La luz, en principio, viaja a lo largo de todos los estacionaria caminos.

Más detalles: se supone que por razones técnicas que el índice de refracción $n({\bf r})$ es un suave función de la posición ${\bf r}$. (En particular, las transiciones entre los 2 medios de comunicación son modeladas como suave. Pensemos, por ejemplo de una fibra óptica con un suave gradual fusión de las vainas. También vamos a suponer que no hay espejos en la puesta en marcha de la simplicidad.)

A continuación, el sistema óptico puede ser modelado como una conectada 3D de Riemann colector $(M,g)$, donde el tensor métrico $g$ está dada por (infinitesimal) longitud del camino óptico.

(El tensor métrico $g$ no debe ser confundido con el tensor métrico que los rendimientos de costumbre 3D Euclidiana distancias.)

Estacionaria caminos se vuelven (no necesariamente de longitud, minimizando) geodesics wrt. la métrica $g$. Deje que nosotros además de asumir que el $(M,g)$ es geodesically completa, por lo que podemos aplicar el Hopf–Rinow teorema, lo que implica que cualquiera de los 2 puntos tienen una longitud de minimizar la geodésica.

Volviendo a la OP a la pregunta del título, imaginar que existe una (no necesariamente estacionario), camino de $\gamma_1$ que tiene menor longitud óptica de algunos estacionaria camino de $\Gamma_2$, cf. OP de la figura. Entonces sabemos que existe una estacionaria camino de $\Gamma_1$ que también tiene menor longitud óptica de $\Gamma_2$.

Answer 4

Fermat principio de no decir más corto de tiempo. Se dice que el tiempo que toma a lo largo del rayo es estacionaria bajo pequeñas perturbaciones de la ruta.

Reflexiones de un espejo cóncavo, por ejemplo, producir un local de punto de silla en donde el tiempo de viaje, el tiempo aumenta, con algunos cambios, disminuye con los demás, pero siempre sólo en un segundo orden de la magnitud del cambio en el radio de la trayectoria.