Pregunta en una generalización de un teorema por Euler

Question

Llamamos a un número entero $k\geq 1$ buena si para todas las $q\in\mathbb{Q}$ hay $a_1,\ldots, a_k\in \mathbb{Q}$ tal que $$q = \prod_{i=1}^k a_i \cdot\big(\sum_{i=1}^k a_i\big).$$ Euler demostró que $k=3$ es bueno.

Es el conjunto de bienes enteros positivos infinito?

Answer 1

Sospecho que $k = 4$ es bueno, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Sin embargo, cada entero positivo $k \geq 5$ es bueno. Esto se deduce del hecho (ver la demostración del Teorema 1 de este preprint) que para cualquier número racional $x$, no son números racionales $a$, $b$, $c$, $d$ de modo que $a+b+c+d = 0$ e $abcd = x$. En particular, uno puede tomar $$ una(x) = \frac{2(1-4x)^{2}}{3(1+8x)}, b(x) = \frac{-(1+8x)}{6}, c(x) = \frac{-(1+8x)}{2(1-4x)}, d(x) = \frac{18x}{(1-4x)(1+8x)}, $$ mientras $x \not\in \{1/4, -1/8\}$. (Para $x = 1/4$ uno puede tomar $(a,b,c,d) = (-1/2,1/2,-1,1)$ e de $x = -1/8$ uno puede tomar $(a,b,c,d) = (-2/3,25/12,-1/15,-27/20)$.)

Ahora, fix $k \geq 5$, vamos a $q \in \mathbb{Q}$ y tomar $a_{1} = a(q/(k-4))$, $a_{2} = b(q/(k-4))$, $a_{3} = c(q/(k-4))$, $a_{4} = d(q/(k-4))$ y $a_{5} = a_{6} = \cdots = a_{k} = 1$. Tenemos que $$ a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{k} = 0 + a_{5} + \cdots + a_{k} = k-4 $$ y $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \cdots = \frac{q}{k-4} \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = \frac{q}{k-4}$. Así $$ \left(\prod_{i=1}^{k} a_{i}\right) \left(\sum_{i=1}^{k} a_{i}\right) = \frac{q}{k-4} \cdot (k-4) = q. $$

Answer 2

Aquí les presento la solución conjunta para $k=4$ por Guang-Liang Zhou y a mí. En realidad, no sólo muestran que $k=4$ es bueno, sino también obtener un stroger resultado: Cada número racional $q$ puede ser escrito como $abcd$ con $a,b,c,d\in\mathbb Q$ tal que $a+b+c+d=1$. (También podemos sustituir el número de $1$ por cualquier valor distinto de cero racional entero, pero eso es el equivalente a la versión actual.)

Deje $x=-81q/32$. Si $q\not\in\{4/81,-8/81\}$,, a continuación,$x\not\in\{1/4,-1/8\}$, por lo tanto $$a(x)+b(x)+c(x)+d(x)=1$$ and $$a(x)b(x)c(x)d(x)=-\frac{32}{81}x=q,$$ donde \begin{gather*}a(x)=-\frac{(1+8x)^2}{9(1-4x)},\ \ b(x)=\frac49(1-4x), \\ c(x)=\frac{2(1-4x)}{3(1+8x)},\ \ d(x)=\frac{12x}{(1-4x)(1+8x)}.\end{reunir*} Para $q=4/81$, claramente $$\frac4{81}=\frac{4}3\times\frac13\times\left(-\frac13\right)\times\left(-\frac13\right)\ \ \text{with}\ \frac 43+\frac13+\left(-\frac13\right)+\left(-\frac13\right)=1.$$ Similarly, for $q=-8/81$ tenemos $$-\frac{8}{81}=\frac{1}3\times\frac23\times\frac23\times\left(-\frac23\right)\ \ \text{with}\ \frac 13+\frac23+\frac23+\left(-\frac23\right)=1.$$