El primero que demostró la generalización de Bertrand postulado a (2n,3n) y (3n,4n)?

Question

En la página de Wikipedia para postulado de Bertrand, se dice que su (2n,3n) versión fue demostrado por El Bachraoui en 2006. Parece probable que se demostró por primera vez camino antes de que eso! Nadie puede señalar a la primera fuente, o al menos a una anterior?

De forma análoga, Wikipedia, dijo hasta recientemente que la (3n,4n) versión fue debido a Andy Loo en 2011. Soy consciente de una prueba por Denis Hanson en 1973, así que he actualizado la página con la info, pero no sé si su prueba es el primero. ¿Sabe usted de las anteriores pruebas?

Answer 1

Por fin he encontrado los siguientes documentos y resultados, que son anteriores a Nagura del papel de 1952. Cito a ellos desde la más reciente a la más antigua:

1. (Molsen, 1941):
   • Para $n\geq 118$ hay números primos en $(n,\frac43n)$ congruente a 1,5,7,11 modulo 12.
   • Para $n\geq 199$ hay números primos en $(n,\frac87n)$ congruente a 1,2 modulo 3. Este resultado implica que de Nagura.

K. Molsen, Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulados, Deutsche Matemáticas. 6 (1941), 248-256. MR0017770

2. (Breusch, 1932):
   • Para $n\geq 7$ hay números primos en $(n,2n)$ congruente a 1,2 modulo 3 y 1,3 módulo 4.
   • Para $n\geq 48$ hay un prime en $(n,\frac98n)$. Este resultado implica que los de Nagura y Molsen (pero no las congruencias parte).

R. Breusch, Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulados, dass entre x y 2x ocupa este cargo signa Primzahlen liegen, Matemáticas. Z. 34 (1932), 505-526. MR1545270

3. (Schur, 1929, según Breusch en el documento anterior):
   • Para $n\geq 24$ hay un prime en $(n,\frac54n)$. Este resultado ya implica que los de Hanson y El Bachraoui.

I. Schur, Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitätsfragen yo, Sitzungsberichte der preuss. Akad. d. Wissensch., phys.-de matemáticas. Klasse 1929, S. 128.

Answer 2

EDICIÓN: José Brox, en otra respuesta, había proporcionado referencias que no noly anteriores Nagura del resultado, pero también son más fuertes.

---

J. Nagura, ya en 1952, demostró que el intervalo de $(x,\frac{6}{5}x)$ contiene un primer para cualquier $x \ge 25$. La prueba aparece en el papel "En el intervalo que contenga al menos un número primo", publicado en el Proc. Japón Acad. Volumen 28, Número 4 (1952), 177-181 (ver este enlace). De Nagura del teorema se obtiene los resultados mencionados en su entrada por la elección de $x=2n$ o $x=3n$, y la comprobación de lo que sucede, por pequeño $n$.