¿Ha trabajado alguien en la elaboración de una clasificación de enredos de baja complejidad, análoga a la realizada para nudos y enlaces? Espero que la mayoría de los pequeños sean racionales, y que los que no lo son sean descomponibles como lo es el nudo cuadrado. Pero hay más, y me gustaría ver una lista de los pequeños; en particular, el uso no matemático de "nudo" se refiere a menudo a algo que podría formalizarse así.
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Jeff
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¡Buena pregunta! No conozco ese censo. Probablemente, lo primero sea enviar un correo electrónico a Damien Heard, el autor del programa "Orb". Aquí está la página de Orb.
http://www.ms.unimelb.edu.au/~snap/orb.html
La documentación, un archivo pdf de 13 páginas en el archivo del código fuente, es muy útil. Básicamente, quieres dibujar un gráfico theta, perforar una de las aristas, y etiquetar cada una de las otras aristas con un "2". Estos gráficos están en correspondencia uno a uno con los enredos (bueno, hasta un giro de Dehn sobre el ecuador del enredo).
Orb puede encontrar triangulaciones canónicas para estos y puede, al parecer, utilizarlos para comprobar si hay isometrías. Esto, sumado a su capacidad para calcular volúmenes y espectros de longitud, significa que puede ocuparse de la parte de filtrado de la construcción de censos. Orb también puede calcular cubiertas ramificadas de dos pliegues, lo que será muy útil.
Supongo que alguna versión de los códigos DT se ocupará de la parte de generación del edificio censal.
Ni que decir tiene que parece una cantidad de trabajo no trivial...
Posdata: Me interesaría mucho ver cómo se disponen las cubiertas bifurcadas de los enredos en el censo cuspidado de SnapPea. ¿Hay alguna forma de "ver" directamente qué elementos del censo cuspado tienen cocientes de enredos?
Como señala Sam Nead, existe una relación entre los grafos espaciales y los enredos que se obtienen taladrando una arista de un grafo espacial que tiene dos vértices o taladrando el vértice de un grafo espacial que tiene un solo vértice. Algunas personas han trabajado en la construcción de tablas de grafos espaciales. He aquí algunas referencias:
Moriuchi "Una enumeración de curvas theta con hasta 7 cruces" (MR2507922)
Ishii, et al "A table of genus 2 handlebody knots up to 6 crossings" (MR2890461)
Lee y Lee "Inequivalent handlebody-knots with homeomorphic complements"(MR2928904)
Un nudo con cuerpo de asa es la vecindad regular de un grafo espacial y la equivalencia de los nudos con cuerpo de asa corresponde a la equivalencia de vecindad de los grafos espaciales.
dStulle
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28
¿Ha visto el artículo "Matrix Integrals and the Generation and Counting of Virtual Tangles and Links"?
- P. Zinn-Justin y J.-B. Zuber, Matrix Integrals and the Generation and Counting of Virtual Tangles and Links, Revista de Teoría de Nudos y sus Ramificaciones , 13:03, mayo de 2004. arXiv
Asociado a ese documento hay también una base de datos en el sitio web de Zinn-Justin que incluye diagramas e información sobre enlaces alternos virtuales primos (resp. enredos) con hasta 8 (resp. 6) cruces.
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No puedo encontrar las fuentes en este momento, pero la gente ha hecho tablas de gráficos espaciales con bajo número de cruces. Estos corresponden, en cierto sentido, a enredos en que el exterior de una arista del gráfico es un enredo.
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Scott, me interesarían estas tablas si puedes encontrarlas.