Cómo es que alguien puede rechazar una matemática resultado si todo tiene que ser probado?

Question

Estoy leyendo un libro sobre la teoría de conjuntos axiomática, un clásico de la Teoría de conjuntos: Para el Guiado de Estudio Independiente, y en el comienzo del capítulo 4, dice:

Hasta ahora, en este libro hemos dado la impresión de que los conjuntos son necesarios para ayudar a explicar el importante número de sistemas en los cuales tanto de las matemáticas (y la ciencia que explota las matemáticas) se basa. Dedekind la construcción de los números reales, junto con los axiomas de los reales, se completa el proceso de poner el cálculo (y mucho más) en un riguroso en igualdad de condiciones.

y luego dice:

Es importante darse cuenta de que hay escuelas de matemáticas que iba a rechazar "estándar" análisis real y, junto con él, Dedekind del trabajo.

¿Cómo es posible que "las escuelas de matemáticas" rechazar estándar de análisis real y Dedekind del trabajo? No sé si estoy malinterpretando las cosas, pero, ¿cómo puede la gente rechaza toda una rama de las matemáticas, si todo tiene que ser probado para ser llamado un teorema y no puede ser refutada, a menos que una lógica error se encuentra?

Incluso he visto este vídeo en el pasado: https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=jlnBo3APRlU y este chico, que se supone que debe ser un profesor, dice que los números reales no existen y que sólo son números racionales. No sé si esto es un problema relacionado ¿pero cómo es esto posible?

Answer 1

Aunque la posibilidad de que diferentes axiomas es una preocupación, creo que la objeción principal que el autor está hablando es en gran parte sobre el constructivismo (es decir, intuitionistic lógica). Realmente hay una gran diferencia entre los números racionales y los reales: con suficiente memoria y el tiempo, un equipo puede representar cualquier número racional y puede hacer aritmética en estos números y compararlos. Esto no es cierto para los números reales.

Para ser más específicos, pero no demasiado técnico: vamos a empezar con el acuerdo de que los números racionales $\mathbb Q$ son sensibles concepto - la única polémica poco de que la participación de los conjuntos infinitos. Un Dedekind corte es realmente sólo una función de $f:\mathbb Q\rightarrow \{0,1\}$ tales que (a) $f$ es surjective, (b) si $x<y$ e $f(y)=0$ entonces $f(x)=0$, y (c) para todos los $x$ tal que $f(x)=0$ existe un $y$ tal que $x<y$ y $f(y)=0$.

Inmediatamente estamos en problemas con esta definición - es común que los constructivistas ver una función de $f:\mathbb Q\rightarrow\{0,1\}$ como algún objeto o oracle que, dado un número racional, los rendimientos de cualquiera de las $0$ o $1$. Así que, me puede preguntar acerca de $f(0)$ o $f(1)$ o $f(1/2)$ y obtener respuestas - y quizás a partir de estas consultas me podría concluir $f$ no fue un Dedekind corte (por ejemplo, si $f(0)=1$ e $f(1)=0$). Sin embargo, no importa cuánto tiempo me la pase preguntando acerca de $f$, yo nunca voy a ser incluso capaz de verificar que se $f$ es un Dedekind corte. Incluso si yo tuviera dos $f$ e $g$ que yo sabía que para ser Dedekind cortes, no sería posible para mí, pidiendo un número finito de valores, determinar si $f=g$ o no - y, en el constructivismo, no hay ningún recurso a la ley del medio excluido, por lo que no podemos decir "o $f=g$ o no" y, a continuación, no tienen camino a discutir el tema de la igualdad en los términos de "dados dos valores son iguales?"*.

El mismo problema surge cuando intento agregar dos cortes - si yo tuviera la Dedekind corte para $\sqrt{2}$ , y el corte de $2-\sqrt{2}$ y querían $g$ a ser el Dedekind corte de la suma, yo nunca lo haría, mediante la consulta de las reducciones, ser capaz de determinar $g(2)$ - yo nunca iba a encontrar a dos elementos de la parte inferior de corte de los sumandos que sumado al menos $2$ ni dos elementos de la corte superior de los sumandos que se agrega a no más de $2$.

Hay algunas maneras constructivas en torno a este obstáculo - sin duda se puede decir "números reales son estas funciones junto con las pruebas de que son Dedekind recortes" y, a continuación, puede definir lo que es una prueba de que $x<y$ o $x=y$ o $x=y+z$ parece - y aún entonces demostrar algunos teoremas, pero nunca se llega a la típica axiomatizations donde se llega a decir, "una ordenó anillo es un conjunto $S$ junto funciones $+,\times :S\times S \rightarrow S$ e $<:S\times S \rightarrow \{0,1\}$ tal que..." porque no se puede definir estas funciones de manera constructiva en la $\mathbb R$.

(*Para ser más concretos - tipo de teoría explica igualdad, en el sentido de "una prueba de que dos funciones $f,g$ son iguales es una función que, para cada entrada de $x$, da una prueba de que $f(x)=g(x)$" - y el hecho de que no podemos resolver esto mediante la consulta no significa que no podemos mostrar funciones específicas a ser igual por otros medios. Sin embargo, es un gran salto para ir de "puedo comparar dos números racionales" - es decir, siempre se puede producir, a partir de dos números racionales, una prueba de la igualdad o de la desigualdad - a "una prueba de que dos números reales es igual consiste en..." la comprensión de que la última definición no nos deja siempre producen una prueba de la igualdad o de la desigualdad para cualquier par de números reales)

Answer 2

Esto es algo sorprendente, si no estás acostumbrado a esto. Pero por supuesto, usted es libre de rechazar cualquier cosa que los enunciados matemáticos que te disgusta. La pregunta real es, ¿qué otra cosa se ve obligado a rechazar con él, y lo seguiría siendo de las matemáticas que usted sabe y amor de otra manera.

La responsabilidad recae sobre usted, como alguien que decidió que "todos los demás están equivocados", para convencer a la gente de que su idea es mejor, y conseguir que la gente tome interés en el qué y el cómo de transferencia de matemáticas de "el reino de error" en "el mundo de la verdad". Es decir, hasta que alguien venga y rechazar sus ideas, etc.

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Por ejemplo, Lebesgue es conocido como alguien que rechaza el axioma de elección. Para él, la existencia de no-medibles establece era impensable, así que se vio obligado a rechazar el axioma de elección, y muchos otros teoremas que estaría en contradicción con eso.

Otro ejemplo es en Kronecker que rechazaron la idea de que los conjuntos infinitos existen, esto significa que para Kronecker el axioma del infinito sería falso. Esto implica que se desea trabajar, en algún sentido, con algunos de segundo orden de la teoría sobre los números naturales, podemos obtener algunos análisis realizado, y más allá de todo lo que sería "una ficción".

Muchas personas rechazarían gran cardenal axiomas, esos son fácilmente malinterpretadas y desconfiaba de fuera de la teoría de conjuntos (aunque a menudo ignorado igual de bien). Pero sin inaccesible cardenales, no hay Grothendieck universos; sin medibles cardenales que hay algunas accesibles categorías que no son bien copowered. Incluso algunos de los teóricos de rechazar las grandes cardenal axiomas tales como Reinhardt y Berkeley cardenales, ya que implican la negación del axioma de elección, que (a diferencia de Lebesgue) la mayoría de conjunto de los teóricos dispuestos a aceptar como "verdad evidente".

Lo que es cierto, es que hay implícita una teoría matemática subyacente, que nos permite desarrollar "la mayoría de trabajar las matemáticas", sin tener que preocuparse acerca de las fundaciones. Pero esta teoría no está exenta de controversias. Incluye conjuntos infinitos, el axioma de elección, la ley de medio excluido, y más. A veces es interesante ver qué parte de verdad depende de estos axiomas, y a veces directamente la sensación de que algo está mal con los axiomas.

Si usted está más propensos a usar el equipo de asistencia en su trabajo (por ejemplo, la prueba de verificación de software), que podría estar más inclinado a tomar un fundamento diferente que es más fácil de entender a partir de la prueba de auxiliar de punto de vista. Esto puede ser algo que rechaza la LEM, por ejemplo, o de lo contrario es incongruente con lo que "la mayoría de la gente" llamaría "cada día las matemáticas".

Answer 3

Recuerde que el libro que usted está leyendo es axiomático que la teoría de conjuntos. Cualquier momento de hacer la matemática pura, usted tiene que comenzar con los axiomas. No se puede probar ellos, que acaba de especificar. Y, a continuación, utilice para probar otras cosas.

El famoso ejemplo de esto es el postulado paralelo. La gente se sorprendió cuando se dio cuenta de que usted podría tener perfectamente una geometría constante, donde había un número infinito de líneas a través de un punto y en paralelo a otro de la línea (no en el punto).

En la teoría de conjuntos, el axioma de elección, juega un papel similar. Usted no puede probar que es a partir de los otros axiomas, pero sin embargo, se siente más como un teorema que muchos de los otros axiomas. La mayoría de la gente intuitivamente cierto, pero algunos no.

Las diferentes "escuelas" son personas con diferentes opiniones acerca de que los conjuntos de axiomas que debe utilizar. Que no son corrientes, pero a diferencia de los grupos marginales en otros campos, nadie duda de la validez de las matemáticas que hacer. A la pregunta "Si usted rechazar el axioma de elección, lo que se puede demostrar?" es perfectamente legítimo.

Answer 4

Diferentes personas usan diferentes axioma de sistemas.

Answer 5

Usted necesita una declaración y un sistema axiomático que se encuentran trabajando dentro de evaluar si un enunciado es verdadero. Usted no puede deducir si una afirmación es verdadera simplemente de sí mismo. No tendría ningún sentido. Es como si me pregunta usted - "es que la pelota en el piso de color verde?". Si no entiendes las palabras de la bola, de color verde, o hasta el piso - ¿cómo podría usted responder a esta pregunta? O digamos que ambos no están de acuerdo en cuál es el color verde se puede ser fiel a mí la pelota es de color verde. Pero usted podría decir: "no, esa pelota es azul! Puedo ver con mis propios ojos que la pelota es azul!".

Usted puede pensar en una combinación de ambos declaración y el sistema de la

$${(p,S)}$$

donde ${p}$ denota cierta la proposición y ${S}$ denota algún tipo de sistema que están trabajando dentro, y se podría pensar en algún operador ${T(p,S)}$ que devuelve true o false dependiendo de si la proposición es verdadera. Podría ser que dentro de un sistema de $S$, ${p}$ que no tiene sentido. Que es - usted no puede incluso evaluar

$${T(p,S)=?}$$

O es verdad que valor puede cambiar dependiendo de la $S$ puedes usar:

$${T(p,S_1) = \text{true}}$$

$${T(p,S_2) = \text{false}}$$

Así que no creo que de las Matemáticas como "Esto es definitivamente un 100% ¿todo debe funcionar". Es más como "Dado este conjunto de axiomas, y dado que son consistentes - este es definitivamente el 100% de cómo las cosas deben trabajar". Aviso que tenía que asumir también el sistema es coherente - hay algunos sistemas que son incompatibles y, por tanto, la evaluación de una declaración que podría ser a la vez falso y verdadero a la vez - por lo tanto, es incoherente. No está de acuerdo con el mismo:

$${\text{A system $S$ is inconsistent iff both }T(p,S)=\text{true}, \text{ and }T(p,S)=\text{false}}$$

En su caso - es bastante fácil ver cómo podría ser rechazado. Si alguien usa una diferente ${S}$, como se indicó anteriormente, los resultados podrían ser muy diferentes. Algunas personas pueden estar en desacuerdo con la elección de $S$. En última instancia, lo que es cierto para un Matemático se rige por los axiomas que están utilizando, que puede fácilmente cambiar. No es así en blanco y negro. No hay tal cosa como una "verdad absoluta" en Matemáticas. Es necesario indicar cuáles son las reglas que están jugando. De hecho - no estoy seguro de que incluso tiene sentido preguntar qué "verdad absoluta" es, en cualquier campo - siempre se necesita un poco de contexto, algunos antecedentes.

Edit: Acaba de reiterar - este operador "$T$" he definido aquí es que no se toma demasiado en serio. Es sólo una manera simbólica de la escritura de este punto de vista de las Matemáticas, y cómo la Matemática funciona. Como decía - hay un montón de instrucción + sistema de combinaciones donde $T$ no es evaluar-poder en forma significativa. Por ejemplo, tomar

$${S = \{false\}}$$

Es decir, la axiomática del sistema que nos dice que todo es falso. Ahora tome la declaración

$${p=\text{this statement is false}}$$

Asumiendo $S$ es consistente, se trata de evaluar ${T(p,S)}$. Usted no puede hacerlo. La declaración no puede ser verdad, ya que los axiomas nos dicen todo lo que debe ser falsa. Pero si es falso, es cierto, que a su vez contradice el axioma.