Ejemplos concretos de valoración de los anillos de rango dos.

Question

Deje $A$ ser un anillo de valoración de rango dos. A continuación, $A$ da un ejemplo de un anillo conmutativo tal que $\mathrm{Spec}(A)$ es un noetherian topológica del espacio, sino $A$ no es noetherian. (De hecho, de lo contrario $A$ sería un discreto anillo de valoración.)

Hay un ejemplo concreto de un anillo $A$?

Answer 1

Qiaochu respuesta de sonido, en principio, pero en la práctica uno debe ser mas cuidadoso con la definición del anillo. El cociente de campo $K$ $A$ se compone de formal de la serie de Laurent de la forma

$$f=\sum_{r=-r_0}^\infty x^r\sum_{s=-s_0(r)}^\infty a_{r,s}y^s.$$

Aquí $r_0$ es un número entero y para cada entero $r$, $s_0(r)$ es un número entero (dependiendo $r$). Así que estos son los de alimentación de la serie donde los poderes de la $x$ están delimitadas por debajo de y para cada entero $r$ el coeficiente de $x^r y^s$ es cero para todos $s$ por debajo de un límite dependiendo $r$. Este aspecto complicado condición se asegura de que el producto de dos elementos de la $K$ es también un elemento de $K$ (nota de que no se puede multiplicar dos generales de la serie de Laurent).

A continuación, $A$ consistirá de todas esas series con las condiciones adicionales que $r_0=0$$s_0(0)=0$. La valoración de un elemento de $f$ es al menos $(r,s)$ bajo orden lexicográfico con $a_{r,s}\ne0$. Aquí el orden es $(r,s)<(r',s')$ si $r < r'$ o $r=r'$$s < s'$.

Un más alto de la ceja interpretación de la condición para la membresía de $K$ es que el apoyo de $f$, el setof $(r,s)$ que $a_{r,s}\ne0$, debe ser bien ordenado, es decir, a cada subconjunto de la ayuda tiene una menos elemento. (Con repsct a esta orden lexicográfico de curso).

Al considerar una versión de esta construcción en $n$ variables uno puede construir explícitamente un anillo con una valoración de rango $n$.

Answer 2

Tome el anillo de poder formal de la serie (sobre $\mathbb{C}$, dicen) con exponentes en $\mathbb{Z}^2$ bajo lex orden.

Edit: Como Robin Chapman menciona, uno debe ser cuidadoso acerca de lo que esto significa. La construcción precisa para cualquier totalmente ordenado abelian grupo se describe en el artículo de la Wikipedia.