Sé qué "coherente gavilla" significa que si sé lo que significa localmente Noetherian esquemas?

Question

He estado tratando de convencer a mí mismo que "coherente gavilla" es una definición natural. Una manera en que yo podría ser satisfecho es la siguiente: para los módulos a través de un Noetherian anillo de $A$, coherente y finitely presentan los módulos de acuerdo. Para quasicoherent poleas más de un local Noetherian esquema de $X$, coherente y localmente finitely presentado gavillas de acuerdo. En general, coherente con poleas son localmente finitely presentado, y de ahí que se tire hacia atrás a lo largo de morfismos $f : X \to Y$ donde $X$ es localmente Noetherian.

Es que esto ya es suficiente información para decirme lo coherente de las poleas debe ser?

Más precisamente, si $Y$ es un esquema, vamos a $N_Y$ ser la categoría cuyos objetos son pares $(X, f)$ de un local Noetherian esquema y una de morfismos $f : X \to Y$ y cuyos morfismos son desplazamientos de los triángulos. La categoría de coherente poleas $\text{Coh}(N_Y)$ a $N_Y$ es la categoría cuyos objetos son las asignaciones para cada una de las $(X, f) \in N_Y$, de un coherente gavilla $F_X \in \text{Coh}(X)$ y asignaciones, para cada uno de los morfismos $g : (X_1, f_1) \to (X_2, f_2)$ en $N_Y$, de un isomorfismo

$$F_{X_1} \cong g^{\ast} F_{X_2}$$

la satisfacción de las obvias de compatibilidad de la condición, con la obvia idea de morfismos. Desde coherente poleas están localmente finitely presentados, tire hacia atrás a nivel local finitely presentado gavillas de una manera satisfactoria las evidentes condiciones de compatibilidad, por lo que existe un natural functor

$$\text{Coh}(Y) \to \text{Coh}(N_Y)$$

dado por tomar pullbacks a lo largo de todos los morfismos $f : X \to Y$ donde $X$ es localmente Noetherian. La versión más precisa de mi pregunta es:

Es este functor una equivalencia?

Creo que hay un impermeable forma de pedir esta el uso de descenso y otro impermeable forma de hacer esta usando Kan extensiones, pero me abstendré de ambos para estar en el lado seguro. Si lo anterior es cierto, también me gustaría estar interesados en saber en qué medida puede restringir "localmente Noetherian" a un menor subcategoría. ¿Es suficiente el uso de Noetherian esquemas? Afín Noetherian esquemas? A través de una afín Noetherian base $\text{Spec } S$, no es suficiente para el uso de $\text{Spec } R$ donde $R$ es finitely generado más de $S$?

Answer 1

Tome $A$ a Brian Conrad universal de ejemplo contrario, es decir, el infinito contable producto de copias de $\mathbf{F}_2$. A continuación, $A$ es absolutamente plana y cada finitely presentado módulo es finito localmente libre. Por otro lado, cada elemento de la $A$ es un idempotente. Por lo tanto, si $B$ es un Noetherian anillo cuyo espectro está conectado, entonces cualquier anillo mapa de $A \to B$ factores a través de un cociente $\kappa = A/\mathfrak m$ para un ideal maximal $\mathfrak m \subset A$. (Tenga en cuenta que $\kappa \cong \mathbf{F}_2$.) Por lo tanto, si elegimos para cada ideal maximal $\mathfrak m$ un entero $n_\mathfrak m \geq 0$, entonces podemos asignar a $A \to B$ como anteriormente, el módulo de $B^{\oplus n_\mathfrak m}$. Se los dejo a ustedes para ver que esto produce un objeto de $\text{Coh}(N_Y)$ para $Y = \text{Spec}(A)$. Pero, por supuesto, este objeto no viene de una coherente $A$-módulo si tomamos la función de $\mathfrak m \mapsto n_\mathfrak m$ tomar un número infinito de valores distintos.