El problema es mucho más sencilla, pero interesante y no trivial, si reemplazar homeomorphisms por diffeomorphisms, por lo que valdría la pena estudiar este caso.
Lógicamente, debido a que cualquier acción por diffeomorphisms es una acción homeomorphisms y si no hay acción por homeomorphisms existe, entonces, ciertamente, no puede haber ninguna acción por diffeomorphisms. Pero ese no es el punto.
El punto es que uno puede usar cohomology de la teoría (lo cual es imposible en el homeomorphism caso, véase más adelante). El caso de superficies cerradas y diffeomorphisms fue resuelto por Morita alrededor de 1985, y aquí está la gracia del cuento.
Considere la posibilidad de un cerrado orientado $n$-colector $M$ y la orientación de la preservación de diffeomorphism grupo $Diff(M)$. Deje $Diff(M)^{\delta}$ ser el diffeomorphism grupo con la topología discreta. Hay un inducida por el mapa de $B Diff(M)^{\delta} \to B Diff(M)$, la inducción de un mapa en
racional cohomology. Describimos ahora cohomology clases que automáticamente encuentran en el núcleo. Deje $f:A Diff(M) \to B Diff(M)$ ser universal $M$-bundle. Tiene una tangente vertical bundle $T \to A Diff(M) $ de los universales $M$-bundle. Se ha Pontrjagin
clases de $p_i \in H^{4i}$, y con la ayuda de la Gysin mapa, producir clases de $f_! (q(p_1,p_2,..))$ para cada polinomio en el Pontrjagin clases (llamémoslos Mumford-Morita-Miller o MMM-clases).
Ahora vamos a $X$ ser suave, un colector y $X \to B Diff (M)^{\delta}$ un mapa, la clasificación de un colector bundle $E \to X$. Desde la estructura del grupo es discreto, no sería una foliación de $E$ por las hojas son de forma transversal a las fibras.El paquete normal de la foliación es la tangente vertical de paquete.
Pero no es un teorema de Bott. Él mostró que la Pontrjagin clases del paquete normal de una foliación son cero en una serie de grados (se me olvidó la gama, pero es suficiente para garantizar que, en el caso de las superficies de $p_{1}^{k}$ es cero para $k \geq 2$). Este se basa en Chern-Weil teoría. Resultado de la discusión: en un rango de grados, la MMM-asignar clases a cero en $H^* (B Diff(M)^{\delta})$.
Ahora se supone que hay una sección de $s: MCG(M) \to Diff(M)$. Sería, claramente, el factor a través de $Diff(M)^{\delta}$. En particular, una parte de la MMM-asignar clases a cero en virtud de la sección.
En la superficie de los casos, hay un teorema por Earle y Eells, diciendo que los componentes de $Diff$ son contráctiles. Consecuencia: la inducida por el mapa de $Bs: B MCG (M) \to B Diff (M)$ es un homotopy de equivalencia, pero los mapas de muchas MMM-clases a cero. Esto es una contradicción, una vez que usted sabe que suficiente MMM clases son cero. Esto es precisamente lo que Morita hizo.
La pregunta para homeomorphisms no puede ser atacado mediante estos métodos, debido a la siguiente, realmente impresionante, por el teorema de Dusa Mc Duff (creo, enunció por primera vez por Bill Thurston, y grandes porciones de la prueba fueron hechas por Mather y Segal). Se dice que para cada uno (tal vez PL es necesario) colector $M$ natural, de las map $B Homeo(M)^{\delta} \to B Homeo (M)$ es una homología de equivalencia!! Así que usted nunca tendrá una contradicción de esa manera.
Ahora, si usted desea estudiar la Trenza grupo caso (y diffeomorphisms), a continuación algunas de estas cosas va a trabajar (y puede ser más fácil): Los componentes fuera de la correspondiente diffeomorphism grupos son contráctiles, el (racional) cohomology de la trenza de los grupos es explícitamente conocido; y lo que debería ser relativamente fácil de averiguar la Pontrjagin clases de la tangente vertical de paquete. Una vez que algunos de ellos son triviales, está hecho.
