¿La conjetura de Van der Waerden se debe realmente a Van der Waerden?

Question

La conjetura de Van der Waerden (ahora un teorema de Egorychev y Falikman) afirma que la permanente de una matriz doblemente estocástica es al menos $n!/n^n$ .

El artículo de Wikipedia, al igual que muchas otras fuentes, ofrece la siguiente cita:

B. L. van der Waerden, "Aufgabe 45", Jber. Alemán. Math.-Verein. , 35 (1926), 117.

Sin embargo, acabo de ir a la biblioteca a buscar el volumen 35 de Informe anual de la Asociación Alemana de Matemáticos Y la página 117 se encuentra justo en medio de un artículo de Karl Menger, "Bericht über die Dimensionstheorie". En la página 117 no hay nada que se parezca remotamente a la conjetura de Van der Waerden.

En el libro Curso de combinatoria de J. H. van Lint y R. M. Wilson, hay un capítulo sobre la conjetura de Van der Waerden, y hay una nota a pie de página que dice que Van der Waerden dijo a uno de los autores que nunca había hecho tal conjetura.

¿Así que tal vez Van der Waerden nunca hizo la conjetura? ¿O es que hizo la conjetura y luego se olvidó de ella, y la cita se confundió en algún momento? La cita más antigua de "Aufgabe 45" en Google Scholar parece ser de 1960, así que tal vez fue entonces cuando se introdujo el error. Pero no sé cómo buscar citas anteriores a una referencia posiblemente inexistente de Van der Waerden.

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ADDENDUM (provocado por los comentarios de Mark Sapir a la respuesta de Matt F. más abajo): Esto es lo que dicen Van Lint y Wilson (capítulo 12, 2ª edición):

En 1926, B. L. van der Waerden propuso como problema determinar el mínimo permanente entre todas las matrices doblemente estocásticas. Era natural suponer que este mínimo es per $J_n = n!\,n^{-n}$ . La afirmación [de que este mínimo se alcanza de forma única por la matriz constante] se conoció como la 'conjetura de Van der Waerden' (aunque en 1969 le dijo a uno de los autores actuales que no había oído este nombre antes y que no había hecho tal conjetura).

Así que parece que el propio Van der Waerden vio una distinción entre pedir el valor mínimo, y conjeturar cuál es el valor mínimo (o conjeturar que el valor mínimo se alcanza de forma única por la matriz constante).

Answer 1

La Aufgabe 45 se encuentra en el segundo Abteilung del volumen 35, efectivamente en la página 117, como aquí . Estaba preguntando por los permanentes, pero en lugar de pedir una prueba sobre $n!/n^n$ , pidió que se determinara un mínimo.

Traducción: "La función $Q\cdots$ (sumando todas las permutaciones de los índices $1,\ldots,n$ ), en las condiciones $a_{ik}\cdots$ sólo puede tomar valores positivos (Dénes König, Graphs and their Applications #2, Math. Ann. 77, p. 47). El mínimo de la función está (en las condiciones dadas) por determinar".