Se sabe lo que el más pequeño de la teja (en términos de área) que puede teselar el plano hiperbólico es? En particular, debe teselar el plano por sí mismo.
Creo que va a ser un Triángulo grupo, pero no estoy seguro.
(En la geometría esférica, la respuesta es que no hay ninguna más pequeño azulejo, porque usted puede hacer bipyramids con arbitrariamente pequeñas caras. No creo que este será el caso con el plano hiperbólico, aunque.)
De hecho, uno puede embaldosar el plano hiperbólico con arbitrariamente pequeños azulejos. Hay un mosaico del plano hiperbólico (al parecer debido a Boroczky) por pentágonos.
Los bordes horizontales son horocycles en la mitad superior-modelo de espacio del plano hiperbólico, y las líneas verticales geodesics. El borde en la parte superior de cada ficha es la mitad de la longitud de la una en la parte inferior. Uno puede hacer estas arbitrariamente delgada, y por lo tanto tienen arbitrariamente pequeña área.
El apuntados mencionado por Ian Agol están relacionados con una acción de un Baumslag-Solitar grupo $\{ a,b \bigg| b^{-1}a^2b=a \}$ sobre el plano hiperbólico. Tienen arbitrariamente pequeña área, pero el diámetro uniformemente acotada lejos de $0$. Es posible tesselate el plano hiperbólico con un solo azulejo con arbitrariamente pequeño diámetro, demasiado. Vamos a no ser $n$ arcos en la parte superior y $n+1$ arcos en la parte inferior. Como $n \to \infty$ la distancia entre la parte superior y la parte inferior va a $0$. La región está naturalmente relacionado con un (no creyentes) la acción de un Baumslag-Solitar grupo $\{a,b \bigg|b^{-1}a^{n+1}b=a^n\}$ sobre el plano hiperbólico.
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