Cuándo puede una función invertible ser invertida en forma cerrada?

Question

El algoritmo de Risch responde a la pregunta: "Cuando puede una función integrada en la forma cerrada?", ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_integration Es alguien consciente de que cualquier trabajo que responde a la pregunta relacionada, "Cuando puede una función invertible ser invertida en forma cerrada?" Por la forma cerrada, yo quiero excluir a series infinitas expansiones, a menos que describen una función especial. Yo sería feliz sólo para ver una lista corta de algunos explícitamente invertible funciones.

Answer 1

Te recomiendo el siguiente artículo: MR1501299 Ritt, J. F. Funciones elementales y sus inversas. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 27 (1925), no. 1, 68 a 90. (disponible gratuitamente en la web). De hecho se da una breve lista. Para los resultados más recientes hay un libro A. Khovanski, Topológica de la teoría de Galois.

Por supuesto, usted debe especificar más exactamente ¿qué quiere decir que una forma cerrada. En Ritt (y otros documentos sobre el tema), las funciones algebraicas son considerados "elemental". Si desde el punto de vista de que no son "formas cerradas", usted puede mirar para otro papel por Ritt:

MR1501211 Ritt, J. F. En funciones algebraicas que pueden ser expresados en términos de los radicales. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 24 (1922), no. 1, 21-30.

MR1501229 Ritt, J. F. fe de Erratas: "En las funciones algebraicas que pueden ser expresados en términos de los radicales" Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 24 (1922), no. 4, 324.

http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/S0002-9947-1925-1501299-9.pdf

Por otro lado, muchas personas consideran Lambert (función de la inversa de $xe^x$) "forma cerrada". Ciertamente no primaria.

Answer 2

De forma cerrada funciones de la necesidad de la definición que de un conjunto de funciones es permitido para representar la función. Tome por ejemplo el algebraicas definición de las funciones Elementales por Liouville y Ritt (Wikipedia: Primaria función).

Existen pocas publicaciones que demuestran que la función dada no tiene un inverso en forma cerrada. Ejemplos son la prueba de que las soluciones de la ecuación de Kepler no son funciones elementales y la prueba de que LambertW no es una función primaria.

Ritt del trabajo Ritt, J. F.: funciones Elementales y sus inversas. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 27 (1925) (1) 68 a 90 parece ser la única publicación que trata el tema en general. Pero no sólo se ocupa de las funciones elementales, y Ritt del método de la prueba parece ser, por desgracia, sólo para las funciones elementales.

Ritt del teorema está demostrado también por la Fuerza en [Risch 1979] Risch, R. H.: las Propiedades Algebraicas de las Funciones Elementales de Análisis. Amer. J. Matemáticas 101 (1979) (4) 743-759. Supongo que es posible extender esta prueba y Ritt del teorema de otras clases de funciones. Ver a mi pregunta de Cómo ampliar Ritt del teorema de primaria invertible bijective funciones elementales.

Otra referencia es el último teorema de la Rosenlicht, M.: Sobre explícita solvencia de determinados trascendental ecuaciones. Publicaciones de mathématiques de l''IHÉS 36 (1969) 15-22. Rosenlicht escribe: "El teorema anterior es una poderosa herramienta para la búsqueda de primaria soluciones, si existen, de ciertos tipos de trascendental ecuaciones, o para demostrar su inexistencia." Desafortunadamente, este método es aplicable sólo para ciertos tipos de ecuaciones. Pero el método es aplicable también para algunas otras clases de funciones que pueden ser representados por un campo.

Como las clases de las funciones puede ser representado como un conjunto de funciones generadas por un campo, tiene un tratamiento diferencial álgebra y se describe por ejemplo, en la sección 1 de Davenport, J. H.: ¿Qué Podría "Entender una Función de" Decir. En: Kauers, M.; Kerber, M., Minero, R.; Windsteiger, W.: Hacia Mecanizada Matemática Asistentes. Springer, Berlin/Heidelberg, 2007, página 55-65.

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Es posible extender al menos una parte de Ritt resultados directamente de la siguiente manera:

$K_0$ ser un campo.

$n>0$

$X,Y_1,...,Y_n$ ser conjuntos.

$A\colon Y_1\times \cdots\times Y_n \mapsto A(Y_1\times ...\times Y_n), (x_1,...,x_n)\mapsto A(x_1,...,x_n)$ ser una función algebraica sobre el campo $K_0$.

$f_1\colon X\to Y_1, x\mapsto f_1(x)$; ...; $f_n\colon X\to Y_n, x\mapsto f_n(x)$ ser bijective funciones trascendentes.

$F\colon X\to Y, x\mapsto A(f_1(x),...,f_n(x))$ ser un bijective función.

$K$ ser la extensión del campo de $K_0$ que se genera a partir de $K_0$ sólo mediante la aplicación de operaciones algebraicas, la identidad y la función de los inversos de las $f_1,...,f_n$.

Si $f_1,...,f_n$ son parejas algebraicamente dependiente de $K_0$, a continuación, $F$ tiene una inversa en $K$.

Eso significa que, aproximadamente hablado, cada bijective iterada composición de unario univalued funciones de $f_i$ (tal vez esto puede ser extendido a $n_i$-ary $n_i$valores de las funciones) es invertible en el algebraicas cierre de la diferencial de campo que se genera por la $f_i$ y sus inversas.

Esto, si se formula como teorema, es importante, porque cada función en un dominio abierto puede ser hecho bijective por la restricción de su dominio. Esto juega un papel importante en la inversión de funciones y la resolución de las ecuaciones por parciales de matrices inversas.

Me dio un ejemplo en la respuesta a la solución Algebraica para el logaritmo natural de las ecuaciones como $1-x+xln(-x)=0$.

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La siguiente es una suposición no probada de la mina:

Si $f_1,f_2,...,f_n$ son algebraicamente independientes sobre $K_0$, a continuación, $F$ no tiene un inverso en $K$.

Una indicación de esta hipótesis: La definición de las ecuaciones de la inversa de $F$, $F^{-1}(F(x))=x$ e $F(F^{-1}(x))=x$, no pueden ser resueltos mediante la aplicación de las funciones de $K$. Eso significa que, no es posible calcular la inversa de $F$ mediante la resolución de estas ecuaciones en esa forma.

Pero Ritt la prueba va más allá: Ritt $proves$ que la correspondiente función primaria $F$ no tiene un inverso en las funciones elementales.