Una magnífica serie de $\pi-333/106$

Question

Afirmó aquí sin prueba de ello es la magnífica serie $$\frac{48}{371} \sum_{k=0}^\infty \frac{118720 k^2+762311 k+1409424}{(4 k+9) (4 k+11) (4 k+13) (4 k+15) (4 k+17) (4 k+19) (4 k+21) (4 k+23)} \\=\pi-\frac{333}{106},$$ which proves that $\pi>333/106$.

Sólo puedo suponer que la serie se ha demostrado con la integral de la $$\pi-\frac{333}{106}=\frac{1}{530}\int_0^1 \frac{x^5(1-x)^6(197+462x^2)}{1+x^2}dx.$$Mis intentos han sido hasta el momento la división de la integral como $$\begin{align} 530J&=\int_0^1 \frac{x^5(1-x)^6(197+462x^2)}{1+x^2}dx\\ &=197\int_0^1 \frac{x^5(1-x)^6}{1+x^2}dx+462\int_0^1\frac{x^{7}(1-x)^6}{1+x^2}dx\\ &=197J_1+462J_2. \end{align}$$ Cada uno de los restantes integral se convierte en una serie con $$\frac1{1+x^2}=\sum_{n\ge0}(-1)^n x^{2n}$$ así que tenemos dos series de la forma $$f(p)=\sum_{n\ge0}(-1)^n\int_0^1 x^{p+2n}(1-x)^6dx=720\sum_{n\ge0}(-1)^n\frac{(p+2n)!}{(p+2n+7)!}.$$ Cada factorial plazo se reescribe como $$\frac{s!}{(s+7)!}=\frac1{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)(s+5)(s+6)(s+7)},$$ así que $$f(p)=720\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{\prod_{k=1}^{7}(2n+p+k)}.$$ A continuación, $$J_1=f(5)\\ J_2=f(7).$$ Pero, ¿cómo llega uno de $530J=197f(5)+462f(7)$ a la serie en cuestión? Además, ¿cómo podemos probar que $J=\pi-333/106$? Supongo que en algún momento utilizar el teorema del binomio, a continuación, dejó con un montón de integrales como $$\int_0^1\frac{x^qdx}{1+x^2}$$ which I suppose are evaluable in terms of $\pi$, pero me parece una gran oferta de cancelación/simplificación tendría que ocurrir y no me vea de inmediato donde esto iba a suceder. Tiene que haber una manera más fácil.

Gracias!

Answer 1

Probablemente no es muy elegante método, como se hace un gran uso de la CAS. Sin embargo parece ser bastante general para este tipo de series. Inversamente, puede ser utilizado para crear resultados similares.

Los términos de la serie, que son una función racional de los índices, se puede descomponer en una suma de términos racionales \begin{equation} u_k=\sum_{j=1}^n\frac{\lambda_j}{k+a_j} \end{equation} (supongamos que el orden de los polos es de 1). Cuando $\left|x\right|<1$, el de la serie \begin{equation} f_j(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k+a_j}=x^{-a_j}\int_0^x \frac{t^{a_j}}{1-t}\,dt+\frac{1}{a_j} \end{equation} Esto puede ser verificado por desarrollar la $(1-t)^{-1}$ plazo en la integral. A continuación, la serie \begin{align} S(x)&=\sum_{k=0}^\infty u_kx^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^n\frac{\lambda_jx^k}{k+a_j}\\ &=\sum_{j=1}^n\lambda_j\left[x^{-a_j}\int_0^x \frac{t^{a_j}}{1-t}\,dt+\frac{1}{a_j}\right]\\ &=\sum_{j=1}^n\frac{\lambda_j}{a_j}+\int_0^x \frac{\sum_{j=1}^n\lambda_jx^{-a_j}t^{a_j}}{1-t}\,dt \end{align} La propuesta de la serie corresponde a $\lim_{x\to1^{-}}S(x)$. Debido a que el denominador de la integral, a fin de que este límite existe, la condición \begin{equation} \sum_{j=1}^n\lambda_j=0 \end{equation} deben tener. Entonces \begin{equation} S(1)=\sum_{j=1}^n\frac{\lambda_j}{a_j}+\int_0^1 \frac{\sum_{j=1}^n\lambda_jt^{a_j}}{1-t}\,dt \end{equation} El resto de la integral puede calcularse directamente.

En el caso propuesto, utilizando un CAS, \begin{align} u_k&=\frac{48}{371}\frac{118720 k^2+762311 k+1409424}{(4 k+9) (4 k+11) (4 k+13) (4 k+15) (4 k+17) (4 k+19) (4 k+21) (4 k+23)} \\ &=-{\frac {181203}{3799040\,k+21844480}}+{\frac {418643}{759808\,k+ 3229184}}-{\frac {293677}{759808\,k+2849280}}\\ &\,\quad+{\frac {743573}{3799040 \,k+12346880}}+{\frac {181203}{759808\,k+3988992}}-{\frac {1868267}{ 3799040\,k+18045440}}\\ &\,\quad-{\frac {56237}{759808\,k+2089472}}+{\frac {56237 }{3799040\,k+8547840}} \end{align} después de algunos cálculos, se obtiene \begin{align} \sum_{j=1}^n\frac{\lambda_j}{a_j}&=\frac{7516928}{124151182155}\\ \sum_{j=1}^n\lambda_jt^{a_j}&=-{\frac {181203}{3799040}{t}^{{\frac{23}{4}}}}+{\frac {418643}{759808} {t}^{{\frac{17}{4}}}}-{\frac {293677}{759808}{t}^{{\frac{15}{4}}}}+{ \frac {743573}{3799040}{t}^{{\frac{13}{4}}}}\\ &\,\quad+{\frac {181203}{759808}{t }^{{\frac{21}{4}}}}-{\frac {1868267}{3799040}{t}^{{\frac{19}{4}}}}-{ \frac {56237\,{t}^{11/4}}{759808}}+{\frac {56237\,{t}^{9/4}}{3799040}}\\ &=\frac{1}{3799040} \left( 181203t+56237 \right)t^{9/4}\left( 1-\sqrt{t} \right)^5 \end{align} La función anterior se desvanece en $t=1$, como se esperaba. Tenemos que evaluar \begin{align} S(1)&=\frac{7516928}{124151182155}+\frac{1}{3799040} \int_0^1 \frac{\left( 181203t+56237 \right)t^{9/4}\left( 1-\sqrt{t} \right)^5}{1-t}\,dt \\ &=\frac{7516928}{124151182155} +\frac{1}{949760}\int_0^1\frac{\left( 181203v^4+56237 \right)v^{12}\left( 1-v^2 \right)^5}{1+v^2}\,dv \end{align} Para evaluar la integral, por devloping el numerador, tenemos que calcular términos como \begin{equation} I_n=\int_0^1\frac{v^{2n}}{1+v^2}\,dv \end{equation} Una relación de recurrencia se puede encontrar fácilmente: \begin{equation} I_n=\frac{1}{2n-1}-I_{n-1} \end{equation} de la que tenemos (con $I_0=\pi/4$) \begin{equation} I_n=(-1)^{n-1}\sum_{p=0}^{n-1}\frac{(-1)^{p}}{2p+1}+(-1)^n\frac{\pi}{4} \end{equation} Después (bastante interesante) cálculos, obtenemos \begin{equation} \frac{1}{949760}\int_0^1\frac{\left( 181203v^4+56237 \right)v^{12}\left( 1-v^2 \right)^5}{1+v^2}\,dv=\pi-{\frac{780059253811}{248302364310}} \end{equation} Finalmente \begin{equation} S(1)=\pi-\frac{333}{106} \end{equation} como era de esperar.

Answer 2

Esta serie se puede obtener con la misma técnica utilizada en Una serie de demostrar $\frac{22}{7}-\pi>0$

Partamos de la serie $$\sum _{k=0}^\infty \frac{960}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)(4k+11)}=\pi-\frac{64}{21}$$

para obtener las siguientes truncamientos:

$$\sum _{k=1}^\infty \frac{960}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)(4k+11)}=\pi-\frac{2176}{693}$$ $$\sum _{k=2}^\infty \frac{960}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)(4k+11)}=\pi-\frac{4288}{1365}$$ $$\sum _{k=3}^\infty \frac{960}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)(4k+11)}=\pi-\frac{45708032}{14549535}$$

La aproximación que nos interesa se encuentra entre dos de estas fracciones.

$$ \frac{4288}{1365}< \frac{333}{106} < \frac{45708032}{14549535}$$

Por lo tanto, una serie de $\pi-\frac{333}{106}$ puede ser obtenido como una mezcla de la serie de $\pi-\frac{4288}{1365}$ e $\pi-\frac{45708032}{14549535}$.

De $$\pi-\frac{333}{106} = a(\pi-\frac{4288}{1365})+b(\pi-\frac{45708032}{14549535})$$

obtenemos $$a=\frac{56237}{237440}$$ $$b=\frac{181203}{237440}$$

Finalmente,

$$\pi-\frac{333}{106}=\frac{56237}{237440}(\pi-\frac{4288}{1365})+\frac{181203}{237440}(\pi-\frac{45708032}{14549535})=$$ $$\frac{56237}{237440}\sum _{k=2}^\infty \frac{960}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)(4k+11)}+$$ $$\frac{181203}{237440}\sum _{k=3}^\infty \frac{960}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)(4k+11)}=$$ $$\frac{56237}{237440}\sum _{k=0}^\infty \frac{960}{(4k+9)(4k+11)(4k+13)(4k+15)(4k+17)(4k+19)}+$$ $$\frac{181203}{237440}\sum _{k=0}^\infty \frac{960}{(4k+13)(4k+15)(4k+17)(4k+19)(4k+21)(4k+23)}=$$ $$\frac{48}{371} \sum_{k=0}^\infty \frac{118720 k^2+762311 k+1409424}{(4 k+9) (4 k+11) (4 k+13) (4 k+15) (4 k+17) (4 k+19) (4 k+21) (4 k+23)}$$