Acíclicos modelos a través de categorías de modelo?

Question

Recordar el acíclicos modelos teorema: dados dos functors $F, G$ a partir de una categoría " $\mathcal{C}$ con los modelos de $M$" a la categoría de los complejos de la cadena de módulos sobre un anillo de $R$, una transformación natural $H_0(F) \to H_0(G)$ induce una transformación natural $F \to G$ (única hasta cadena natural homotopy) si $F$ es gratuito en los modelos y $G$ es acíclico. (Esto tiene muchas aplicaciones útiles, tales como la de mostrar que las cosas como el Alexander-Whitney mapas existen y son únicos hasta homotopy.)

La prueba es un poco de álgebra homológica, pero sospecho que puede ser un aficionado homotopical manera de pensar. Es decir, quiero decir algo de la forma en que la categoría de functors de $\mathcal{C}$ a los complejos de la cadena tiene un modelo de estructura, la libre functors son cofibrant en algún sentido, y el mapa de $G \to H_0(G)$ debe ser un acíclicos fibration. Por lo tanto el levantamiento de $F \to H_0(F) \to H_0(G)$ a $F \to G$ sería un levantamiento de argumento en un modelo general de la categoría (como sería la existencia de una cadena natural homotopy). Sin embargo, no estoy seguro de cuál es el modelo de la estructura debe ser. El proyectivas de la estructura del modelo no parece ser el de la derecha, porque $G \to H_0(G)$ no es un débil equivalencia de los complejos de la cadena (esto solo es para los modelos de $M$). Así que supongo que la estructura del modelo relevante aquí sería un híbrido de la proyectivas de la estructura del modelo, donde en lugar de la debilidad de equivalencias y fibrations levelwise, uno podría querer a aferrarse $M$: es decir, una de morfismos $A \to B$ es un débil equivalencia (resp. fibration) si y sólo si $A(m) \to B(m)$ es uno para cada una de las $m \in M$. Parece que el levantamiento de propiedad que se necesita es esencialmente la prueba de la acíclicos modelos teorema de sí mismo.

Tengo la fuerte sospecha de que esto puede ser hecho. Estoy en lo cierto? Este puede ser empujados más?

Answer 1

Akhil la respuesta de obras propone un modelo de estructura, pero no tiene la propiedad requerida por la pregunta original, es decir, que el libre functors son cofibrant. También, demostrando factorización es mucho mayor que la de Akhil la respuesta que le llevaría a creer (de hecho, esto es donde todo el trabajo duro está hecho). En esta respuesta voy a llenar los detalles de la prueba y en la parte inferior de la dirección de la no-cofibrancy de libre functors.

La prueba de que el modelo existe una estructura imita Hirschhorn la prueba de que el modelo proyectivo de la estructura existe, y que la prueba dura aproximadamente 6 páginas. Lo voy a resumir aquí, pero los que saben que sólo puede saltar a la siguiente sección donde yo rellene los detalles en Akhil de la configuración (es decir, con fibrations y débil equivalencias define en función de $M\subset K$). La última sección, que la trae de vuelta a la acíclicos modelos teorema.

Proyectivas De La Estructura Del Modelo

La razón de la factorización de obras en el estándar proyectivas de la estructura del modelo es que la transferencia de la estructura del modelo de la cofibrantly generadas $C^{K^{disc}} = \prod_{ob(K)} C$ a lo largo de un Quillen contigüidad $(F,U)$, y de aplicar el objeto pequeño argumento. Esta transferencia de principio es Hirschhorn del Teorema de 11.3.2. Deje $I$ e $J$ ser la generación de cofibrations y la generación de trivial cofibrations para $C$. Para cada $k\in K$ deje $I_k= I \times \prod_{k'\neq k} id_{\phi}$ donde $\phi$ es el objeto inicial de $C$. Esta es la forma de ver $I$ en sólo uno de los componentes de $C^{K^{disc}}$. Los generadores de $C^{K^{disc}}$ se $I_{ob(K)} = \cup_{k\in K} I_k$ y de manera similar a $J_{ob(K)} = \cup_{k\in K} J_k$.

La existencia de la proyectivas de la estructura del modelo (y el hecho de que es cofibrantly generado) es Hirschhorn del Teorema de 11.6.1 y la prueba se comprueba que la hipótesis de 11.3.2 espera, a saber:

1. $F(I_{ob(K)})$ e $F(J_{ob(K)})$ permiso de la pequeña argumento de objeto.
2. Todos los mapas en $U(F(J_{ob(K)})-cell)$ son débiles equivalencias.

Para Hirschhorn, el functor $F$ lleva una discreta diagrama de $X$ a un diagrama de $\coprod_{k \in K} F^k_{X(k)}$ en $C^K$ donde $F^k_A = A \otimes K(k,-)$. El functor $U$ es el olvidadizo functor. Hirschhorn la prueba de (2) requiere Lema 11.5.32, en el que analiza pushouts de $F_A^k \to F_B^k$, ya que para cualquier $g:A\to B$, $F(g\otimes \prod_{k'\neq k} id_\phi)$ es el mapa de $F_A^k\to F_B^k$. El punto de Lema 11.5.32 es que si $X\to Y$ es un pushout de este mapa, a continuación, $X(k)\to Y(k)$ es un pushouts en $C$ de un gigante subproducto de copias de $g$. Este subproducto es un trivial cofibration, así pushouts de que son triviales cofibrations y, por tanto, $X\to Y$ es un débil equivalencia como se desee.

Lema 11.5.32 se utiliza de nuevo (junto con el Yoneda lema y hechos básicos acerca de la pequeñez) para demostrar (1). El punto es que los dominios de los generadores se $F_A^k$ e $A$ es pequeña en relación a $I$-cof, así que se puede utilizar adjointness pasar entre los mapas en $C^K$ y los mapas en la $C$ (es decir, un componente de $C^{K^{disc}}$) y el uso de pequeñez que hay para lograr la deseada conmutatividad de la colimit y hom.

Modificado Proyectivas De La Estructura Del Modelo

Para demostrar Akhil de la propuesta de modelo de la estructura de la factorización es necesario definir la correcta functor $F$ Y usted tiene que verificar (1) y (2). Resulta que Akhil tiene la correcta $F$ (si la sopa para que va de $C^{K^{disc}}\to C^K$ en lugar de $C\to C^K$), pero la verificación de (1) y (2) no son triviales porque esta $F$ no tienen automáticamente Lema 11.5.32. De todos modos, la correcta $F$ es de $X$ a $\coprod_{m\in M}F^m_{X(m)}$ en $C^K$. Tenga en cuenta que no la tierra en $C^M$ porque $K(m,-)\neq M(m,-)$. Esto es bueno, ya que si aterrizado en $C^M$ que acababa de terminar con el modelo proyectivo de la estructura en $C^M$.

Para hacer corta una historia larga, puede resultar un análogo de Lema 11.5.32 y siga Hirschhorn para obtener la modificación de la proyectivas de la estructura del modelo. La mejor manera es de notar que en las coordenadas en las $K - M$ todos los mapas son triviales fibrations, el cofibrations son isomorphisms, y tanto la generación de cofibrations y la generación de trivial cofibrations se $\lbrace id_\phi \rbrace$. Así que si $M$ está vacía obtener el trivial de la estructura del modelo (Hovey el ejemplo 1.1.5) en $C^K$, y si $M$ es un conjunto de puntos se obtiene un producto de $C$ con un montón de copias de trivial de la estructura del modelo. Por supuesto, si $M=K$ obtener el habitual proyectivas de la estructura del modelo.

Con esta observación, una mejor manera de comprobar la existencia de esta modificación de la proyectivas de la estructura del modelo es tomar un producto que en coordinar $k\in M$ utiliza el modelo proyectivo de la estructura y en coordinar $k\not \in M$ utiliza el trivial de la estructura del modelo. Tenga en cuenta que esta modificación de la estructura proyectiva se realiza en Johnson y Yau "En homotopy invariancia de álgebras sobre de color PROPs" para el caso de que $K$ es un grupo que actúa en $C$ e $M$ es un subgrupo. Por desgracia, sólo he encontrado esta referencia después de trabajar el anterior fuera para mí.

Conexión a Acíclicos Modelos Teorema de

La razón principal por la que no creo que este modelo de estructura de la ayuda con el acíclicos modelos teorema es lo que yo dije en mi comentario a Akhil la respuesta. Usted realmente necesita $K$ a ser pequeño, y esto descarta todos los ejemplos interesantes para que el acíclicos modelos teorema se aplica. La otra razón es la observación anterior acerca de la obtención del trivial de la estructura del modelo en coordenadas $k\notin M$. Con esto, usted no puede tener la "libre functors ser cofibrant" que el OP se los pide. Recordar que un functor aquí significa que hay modelos de $M_\alpha \in M$ e $m_\alpha \in F(M_\alpha)$ tal que para todos los $X\in K$ el conjunto $\lbrace F(f)(m_\alpha)\rbrace$ es una base para $F(X)$. Porque cofibrations son isomorphisms en las coordenadas $k\notin M$, la única cofibrant objeto no es el objeto inicial, es decir, el vacío functor. Estas libre de functors no se de que forma porque su comportamiento no está restringido en que la manera en $k\notin M$.

Answer 2

Aquí está la estructura del modelo, que creo que funciona. Deje $\mathcal{C}$ ser un cofibrantly modelo generado categoría, con la generación de cofibrations $I$ y la generación de trivial cofibrations $J$. Deje $K$ ser un pequeño* categoría con modelos de $M$ (por lo $M$ es un conjunto de objetos en $K$). Queremos construir un cofibrantly modelo generado se estructura en $\mathcal{C}^K$, la categoría de functors $K \to \mathcal{C}$, de tal manera que un débil equivalencia (resp. fibration) de functors $F \to G$ es uno de esos que $Fm \to Gm$ es uno de esos para $m \in M$.

Es decir, vamos a definir fibrations y débiles de las equivalencias de esa manera. Definir cofibrations (o trivial cofibrations) por el uso de la elevación adecuado de la propiedad. El reclamo es que si $m \in M$, e $x \to y$ es de $I$ (resp. $J$), a continuación, $\hom(m, \cdot) \times x \to \hom(m, \cdot) \times y$ es un cofibration (resp. trivial cofibration) en $\mathcal{C}^K$. Esto se deduce porque la elevación con respecto a un diagrama de $F \to G$ es el mismo como el hallazgo de una elevación en el diagrama en $\mathcal{C}$ con $x \to y$ frente al $Fm \to Gm$ (por Yoneda del lema). Por otra parte, vemos que estos generan el cofibrations (resp. trivial cofibrations) en $\mathcal{C}^K$ en el sentido de que cualquier cosa que tenga el derecho de elevación de la propiedad con respecto a estos morfismos es necesariamente uno de esos que $Fm \to Gm$ es un trivial fibration (resp. fibration) en $\mathcal{C}$ por cada $m$, por lo que es un trivial fibration (resp. fibration) en el functor categoría.

Para el levantamiento axioma es clara. La retraer axioma es fácil de verificar, y el de la factorización de axioma se sigue de que el objeto pequeño argumento aplicado a los mapas de $\hom(m, \cdot) \times x \to \hom(m, \cdot) \times y$. Esto demuestra que en realidad tiene una estructura de modelo.

En resumen, uno puede imitar el modelo proyectivo de la estructura de aflojando las nociones de fibration y débiles de equivalencia. Cuando uno toma el $\mathcal{C}$ a la categoría de los complejos de la cadena con la habitual estructura del modelo, entonces el acíclicos modelo teorema es sólo el levantamiento axioma aplicado a la estructura del modelo en $\mathcal{C}^K$, tal como se describe en la pregunta.

*El conjunto de la teoría de problemas de aquí al $K$ es algo así como espacios o simplicial conjuntos, por supuesto. Yo no estoy muy bien informado lo suficiente en los detalles para saber qué hacer, que funciona razonablemente otros que apelar a los universos (aunque esto no es necesario).