Relación de primos impar-bit

Question

Decir que un número es un impar-bit número si la cuenta de bits 1 en su representación binaria es impar. Defina un bits pares análogamente. Así $541 = 1000011101_2$ es un número impar-bit, y $523 = 1000001011_2$ es un número par.

¿Existen, asintóticamente, tantos primos impares como pares?

Para los diez primeros primos, tenemos $$ \lbrace 10, 11, 101, 111, 1011, 1101, 10001, 10011, 10111, 11101 \rbrace $$ con 1-bits $$ \lbrace 1, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 4, 4 \rbrace $$ por lo que la relación entre #impar y $n$ es $5/10=0.5$ en el primo 10. He aquí un gráfico de esta relación hasta $10^5$ :

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(El eje vertical está mal etiquetado: Es #impar/ $n$ .)

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Yo esperaría que el #impar/ $n$ relación de aproximación $\frac{1}{2}$ excepto quizás el hecho de que los primos ( $>2$ ) son impar podría sesgar la proporción. El gráfico anterior no sugiere convergencia en el primo 100.000 (1.299.709).

Perdone la ingenuidad de mi pregunta.

Anexo : Ampliación del cómputo al $10^6$ -primo (15.485.863), donde todavía 1,5% por encima del $\frac{1}{2}$ :

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Answer 1

Sí. Esto se demostró en

C. Mauduit y J. Rivat, Sobre un problema de Gelfond: la suma de las cifras de los números primos Ann. Math.

Lo he encontrado buscando "evil prime" y "odious prime" en la OEIS. Más concretamente, demuestran la Conjetura de Gelfond :

Sea $s_q(p)$ denotan la suma de los dígitos de $p$ en base $q$ . Para $m, q$ con $\gcd(m, q-1) = 1$ existe $\sigma_{q,m} > 0$ tal que para cada $a \in \mathbb{Z}$ tenemos

$$| \{ p \le x : s_q(p) \equiv a \bmod m \} | = \frac{1}{m} \pi(x) + O_{q,m}(x^{1 - \sigma_{q,m}})$$

donde $p$ es primo y $\pi(x)$ la función habitual de recuento de primos.

Answer 2

Sí, la proporción se aproxima a 1/2. Esto se demostró en

C. Mauduit y J. Rivat, Sobre un problema de Gelfond: la suma de las cifras de los primos.

Véase Tres temas de la teoría aditiva de los números primos para la exposición. Además, las secuencias mal nombradas en Sloane: A027697 y A027699 .