Conmutativa subalgebras de M_n

Question

Para un determinado $n$, hay alguna caracterización de la conmutativa subalgebras de $M_n(\Bbb{C})$? Me gustaría saber cuántos conmutativa subalgebras hay para cada dimensión.

En vista de Chapman respuesta, yo soy de refinación mi pregunta anterior:

Dado $k\leq n$, es allí cualquier manera de describir la conmutativa subalgebras de $M_n$ que son de dimensión $k$.

Answer 1

Ver la cuestión en Dimensión de subalgebras de una matriz álgebra. En particular, me gustaría recomendar la referencia: M. Mirzakhani `Una simple prueba de un teorema de Schur' Amer. De matemáticas. Mensual de 105 (1998), 260-262.

Schur del teorema establece que la dimensión máxima de un conmutativa subalgebra de $M_n(k)$ para un campo $k$ es $1+[n^2/4]$. Al $n=2m$ es incluso, un álgebra está dada por las matrices de la forma $$\left(\begin{matrix} aI&B\\\\ O&aI \end{de la matriz}\right)$$ para $a\in k$ e $B$ a un arbitrario $m$a$m$ matriz. La restricción de $B$ a un subespacio lineal de $M_m(k)$ le dará un conmutativa subalgebra de cualquier dimensión hasta el máximo. Estos subalgebras tiene una estructura simple hasta el isomorfismo pero su clasificación hasta conjugacy por $\mathrm{GL}_n(k)$ parece difíciles para mí.

Uno puede conseguir conmutativa álgebras no de esta forma, por ejemplo, los de diagonal de las matrices. Es posible clasificar estas hasta el isomorfismo, pero seguramente no conjugacy.

Answer 2

La parte interesante de esto es la nilpotent parte. Usted podría pedir (pero en vano, parece) una clasificación de todos los nonunital conmutativa subalgebras de Final(V) tales que cada elemento es nilpotent, o, equivalentemente, todos (unital) conmutativa subalgebras de Final(V) tales que cada elemento es escalar+nilpotent. Creo que la elección de una subalgebra $A\subset End(V)$ es lo mismo que (1) la elección de una división de $V=V_1\oplus\dots\oplus V_k$ en subespacios triviales, (2) la elección de un nilpotent subalgebra $A\subset End(V_i)$ por cada $i$, y (3) permitir que los $A$ ser $\prod_iA_i$. Es decir, si se define el $V_i$ en términos de $A$ como el más grande de los subespacios conservado por $A$ en que $A$ hechos por escalares+nilpotent, a continuación, que es una división de $V$ e $A$ es el producto completo de sus imágenes en la $End(V_i)$.

Answer 3

Si sólo se preocupan acerca de la conmutativa subalgebras de $M_n(\mathbb{C})$, entonces es relativamente fácil de caracterización. Por lo que cualquier abelian el álgebra es generado por un solo auto adjunto elemento (teorema espectral). Llamar a este elemento T. T es diagonalizable y, entonces, el álgebra se forma, será el álgebra de polinomios sobre él. Ya es diagonalizable que es un unitarty $u$ con $uTu^*$ diagonal. Y el álgebra tiene dimensión $k$ exactamente cuando T $k$ distintos de cero autovalores.

Nota: Esto es suponiendo que T es invertible. Si T no es invertible, entonces el polinomio de álgebra, ya que contiene las constantes se han dimensión $k+1$.

Así que podemos ver el álgebra generada por T como un álgebra de la forma $u^*Au$ donde a es Un álgebra de la diagonal de las matrices.

Answer 4

Creo que el problema general que, dada $k \leq n$, ¿existe un máximo conmutativa subalgebras de dimensión $k$ todavía está abierta. Véase, por ejemplo, Laffey del papel, donde demuestra que $k > (2n)^{2/3} -1 $.

Answer 5

Respecto a la pregunta: `Dado $k \le n$, es allí cualquier manera de describir la conmutativa subalgebras de $M_n$ que son de dimensión $k$:" es fácil ver que el conjunto de la conmutativa subalgebras de $M_n$ de cualquier dimensión $d$ formar una subvariedad de la Grassmanian $G(d,n^2)$ de %de $d$- dimensiones de los subespacios de $n^2$ espacio tridimensional (todo el determinado campo base $\mathbb{C}$, por supuesto). Es fácil escribir las ecuaciones localmente, en cualquier revisión de la Grassmanian en los que un determinado factor determinante del tamaño de la $d$ no desaparecen: En un parche, es una norma de la que uno puede extraer los vectores de la base para un subespacio $W$ as $\pm$ su Desplumadora de coordenadas. Por lo tanto, si $b_1$, $\dots$, $b_d$ son vectores de la base, nuestras ecuaciones leer $b_ib_j$ (la matriz producto escrito como un vector) de cuña con $b_1 \wedge\dots\wedge b_d = 0$, $b_ib_j - b_jb_i = 0$, y $I_n$ (la identidad de la matriz escribe como un vector) de cuña con $b_1 \wedge\dots\wedge b_d = 0$.

Se sabe por ejemplo que la variedad de los desplazamientos subalgebras de $M_n$ de la dimensión de $n$ no es irreducible para un gran $n$.