Es el espacio de inmersiones de $S^n$ en $\mathbb R^{n+1}$ ¿Simplemente conectado?

Question

El título es la pregunta. Lo siento, esto no es del todo un nivel de investigación. Imagino que la respuesta es conocida, pero no para mí. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No soy un topólogo profesional ni mucho menos, pero déjame intentarlo. Hay una discusión en las primeras conferencias de John Francis de este curso . Por favor, corregidme si he cometido errores a continuación...

Por Smale y Hirsch el espacio de inmersiones de $S^n$ en $R^{n+1}$ es equivalente en homotopía al espacio de sin base mapas de $S^n$ en $V_{n}(\mathbb{R}^{n+1})$ , $Map(S^n,V_n(\mathbb{R}^{n+1})$ . Aquí $V_n(\mathbb{R}^{n+1})$ es el Colector Stiefel de $n$ marcos en $n+1$ -espacio. $V_{n}(\mathbb{R}^{n+1})$ es homeomorfo a $SO(n+1)$ .

Consulte la respuesta de Ryan para obtener más detalles.

Su pregunta es entonces básicamente equivalente a caracterizar $\pi_1(Map(S^{n},SO(n+1)))$ el grupo fundamental de ese espacio cartográfico.

Como señala B.S. en su respuesta, ya que $SO(n+1)$ es un grupo, $Map(S^n,SO(n+1))$ es equivalente en homotopía a $SO(n+1)\times\Omega^n(SO(n+1))$ por lo que el grupo fundamental anterior es $\pi_1(SO(n+1))\times\pi_1(\Omega^n(SO(n+1)))\cong\pi_1(SO(n+1))\times\pi_{n+1}(SO(n+1))$ .

Aunque B.S. ha señalado que podemos ver que siempre es no trivial sólo a partir del primer factor, de hecho podemos calcular el grupo a partir de resultados conocidos sobre grupos de homotopía de $SO(n+1)$ (véase por ejemplo esta tabla compilado de la literatura por Klaus Johannson ).

El resultado para todos los $n$ es (desplácese a la derecha en el cuadro gris de abajo):

n| 1   | 2      | 3              | 4         | 5    | 6      | 8s-1                | 8s             | 8s+1        | 8s+2      | 8s+3           | 8s+4      | 8s+5      | 8s+6   |
-| --- | ------ | -------------- | --------- | ---- | ------ | ------------------- | -------------- | ----------- | --------- | -------------- | --------- | --------- | ------ |
 | Z   | Z_2+Z  | Z_2+Z_2+Z_2    | Z_2+Z_2   | Z_2  | Z_2+Z  | Z_2+Z_2+Z_2+Z_2     | Z_2+Z_2+Z_2    | Z_2+Z+Z_2   | Z_2+Z_2   | Z_2+Z_2+Z_2    | Z_2+Z_2   | Z_2+Z_4   | Z_2+Z  |

En las columnas de la derecha, $s$ es cualquier número entero mayor o igual a 1, y los signos más denotan la suma directa. Disculpas por el feo formato de la tabla.

Answer 2

Su espacio es nunca simplemente conectado (para $n\geq 1$ ). Como ya se ha contestado, es (débilmente) equivalente en homotopía por el principio h de Smale-Hirsch al espacio de mapas no basados de $S^n$ a $SO(n+1)$ que a su vez es $SO(n+1)\times \Omega^n SO(n+1)$ ( $\Omega^n$ = mapas basados en $S^n$ ). Así que $\pi_1$ es al menos $\pi_1(SO(n+1))$ (y más en general). De hecho, ni siquiera está conectado en cuanto $\pi_n SO(n+1)$ no es trivial, lo que ocurre para $n=1,3,4,5$ y muchos más (quizás todos excepto $n=2$ ?). Pero es conectado para $n=2$ , que otorgó su celebridad a Smale (eversión de la esfera), aunque su asesor Raoul Bott no lo creyera al principio. EDIT: según j.c. $\pi_n SO(n+1)$ es trivial sólo para $n=2,6$ . Un hecho muy interesante.

Answer 3

Permítanme llenar el vacío en la exposición de J.C. Smale-Hirsch afirma que la derivada del espacio de inmersiones $Imm(S^n, \mathbb R^{n+1})$ al espacio de monomorfismos de haces $Mono(TS^n, T\mathbb R^{n+1})$ es una homotopía-equivalente.

Hay una bonita observación que permite precisar el espacio de los mapas uno a uno fibrosos $TS^n \to T\mathbb R^{n+1}$ .

Observe que $TS^n$ es prácticamente trivial, es decir $TS^n \oplus \epsilon^1 = S^n \times \mathbb R^{n+1}$ , donde $\epsilon^1$ es un haz de líneas sobre $S^n$ .

Así que la idea es extender cualquier monomorfismo de haz a un monomorfismo de haz que preserva la orientación $S^n \times \mathbb R^{n+1} \to T \mathbb R^{n+1}$ . Se puede hacer esto de forma continua, sobre todo el espacio utilizando la construcción de tipo producto cruzado. Se trata de una homotopía-equivalencia entre $Mono(TS^n, T\mathbb R^{n+1})$ y el $n$ -espacio de bucle libre de $SO_{n+1}$ .

Answer 4

Para $n=1$ el espacio $Imm(S^1,\mathbb R^2)$ tiene $\mathbb Z$ muchos componentes conectados descritos por el índice de rotación. En cada caso el grupo fundamental es $\mathbb Z$ . Véase el punto 2.10 de aquí para los componentes con índice de rotación $\ne 0$ y ver este documento para el índice de rotación 0.