Se puede incrustar dos de la división de los anillos en común?

Question

No pude obtener una respuesta a esta pregunta en MathStackExchange, así que me atrevo a preguntar aquí.

Dado que cualquiera de los dos campos, $\rm F_1,F_2$ sobre el mismo primer subcampo $\rm F$, el cociente $\rm \mathbf F=F_1\otimes_F F_2/\mathcal M$ del producto tensor $\rm F_1\otimes_F F_2$ por un máximo adecuada ideal $\mathcal M$ proporciona un campo con dos incrustaciones $$\rm F_1\rightarrow\mathbf F,\ f\mapsto f\otimes 1 +\mathcal M\quad\text{and}\quad F_2\rightarrow\mathbf F,\ f\mapsto 1\otimes f +\mathcal M.$$

Pregunta. Dadas dos de la división de los anillos de $\rm R_1,R_2$ tener la misma característica, hay una manera de encontrar un anillo de división $\rm R$ con dos embedings $\rm R_1⊂R$ e $\rm R_2⊂R$ ?

Answer 1

Sí, esto es posible. PM Cohn demostró por primera vez que el producto amalgamado $R_1 * R_2$ a través de una común subcampo es un "abeto" (libre ideal anillo) y, a continuación, en

Cohn, P. M. La incorporación de la firs en skewfields, Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 23 (1971), 193-213.

que uno puede acostarse inversos para obtener una división de anillo que contiene $R_1 * R_2$.

Por otro lado, el análogo no es cierto para álgebras de división (la división de los anillos que son finito-dimensional sobre su centro). Ver

Rowen, Louis; Saltman, David. Simultánea incrustaciones de finito dimensionales de la división de álgebras. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 141 (2013), no. 3, 737-744.