Es el $N$ factorial en la función de Partición para $N$ indistinguibles de las partículas de una aproximación?

Question

Sospecho que el $N$ factorial en la función de partición de N partículas indistinguibles $$ Z = \frac{ Z_0^N } {N!} $$ es una aproximación. Por favor, que alguien me corrija si estoy equivocado y por qué o por qué no. Gracias.

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Un caso simple:

cada partícula tiene dos estados de ahorro de energía con $0$$E$. La función de partición para una sola partícula es $$ Z_0 = 1 + e^{- \beta E} . $$ Si sólo hay dos partículas, no es el total de la función de partición $$ Z = \frac{ Z_0^2 } {2}. $$ Pero con respecto a todo el sistema consta de estas dos partículas, también podemos escribir $$ Z = 1 + e^{- \beta E} + e^{-2 \beta E} . $$ Y lo cierto es que $$ \frac{ Z_0^2 } {2} \neq 1 + e^{- \beta E} + e^{-2 \beta E} $$

Answer 1

En la figura anterior, considere las diferentes configuraciones que son posibles con 3 partículas y 5 niveles de energía. Dividiendo por 3! obtiene el factor de simetría correcta sólo para configuraciones de tipo 1, pero es malo para las configuraciones de tipo 2 y 3. Usted puede ver esto de forma explícita la escritura de $Z$ y comparando con $z^3/3!$. Es por eso que el OP de la instrucción que $z^3/3!$ es una aproximación es correcta. Me pueden agregar detalles a este, si es necesario. (Nota: Las minúsculas $z$ es la partícula de la función de partición)

Para agregar a Josh el comentario de arriba, incluso para los fermiones donde términos de tipo I son sólo permite, la expansión de la $z^N/N!$ contiene términos de tipo 2 y 3, que son no presente en $Z$. Sin embargo, la contribución dominante en un gran $N$ (así como el número de niveles de energía) es de tipo 1. De ahí mi afirmación de que es una aproximación bastante buena tiene.

Answer 2

El factorial factor de $1/N!$ es exacta, pero no se aplica a todas las estadísticas.

Considere los dos niveles del sistema y que nos llame a $\xi_i$ el gran canónica de la función de partición para el nivel de energía $i$ ($i=0$ o $1$) y $z=\mathrm e^{\beta\mu}$ la fugacidad. Tenga en cuenta que $\xi_i$ es la función de partición para un determinado nivel de energía.

Clásica de las partículas son independientes, indistinguibles, $\xi_i$ se calcula como una función de partición de costumbre para indistinguible de partículas. Aquí dividimos por la simetría $p!$ debido a que las partículas son idénticos en ambos casos y, por tanto, el orden en el que podríamos etiquetar de ellos no debe importar. $$\xi_i^{\text{classical}}=\sum_{p=0}^\infty \frac1{p!}z^p \mathrm e^{-p\beta E_i}=1+z\mathrm e^{-\beta E_i}+\frac{z^2}{2}\mathrm e^{-2\beta E_i}+\cdots=\exp\left(z\mathrm e^{-\beta E_i}\right).$$ Para las partículas cuánticas, la suma se ejecuta sobre el número de partículas que puede ocupar el nivel de energía. No hay división por $p!$ debido a que los estados cuánticos ya son (anti)-simétrica; por ejemplo, el estado cuántico, donde hay un fermión en cada nivel es $\frac1{\sqrt2}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$. $$ \xi_i^{\text{fermions}}=\sum_{p=0}^1z^p\mathrm e^{-p\beta E_i}=1+z\mathrm e^{-\beta E_i}$$ $$ \xi_i^{\text{bosons}}=\sum_{p=0}^\infty z^p\mathrm e^{-p\beta E_i}=\frac1{1-z\mathrm e^{-\beta E_i}}$$ El gran canónica de funciones de partición $$ \mathcal Z^{\text{clásica}}=\xi_0^{\text{clásica}}\xi_1^{\text{clásica}}=\mathrm e^{z\left(1+\mathrm e^{-\beta E}\right)} =\mathrm e^{zZ_1}=1+zZ_1+\frac{z^2}2Z_1^2+\cdots$$ $$\mathcal Z^{\text{fermions}}=\xi_0^{\text{fermions}}\xi_1^{\text{fermions}}=(1+z)\left(1+z\mathrm e^{-\beta E}\right)=1+zZ_1+z^2\mathrm e^{-\beta E}$$ $$\mathcal Z^{\text{bosones}}=\xi_0^{\text{bosones}}\xi_1^{\text{bosones}}= \frac1{1-z}\frac1{1-z\mathrm e^{-\beta E}}=1+zZ_1-z^2\mathrm e^{-\beta E}+z^2Z_1^2+\cdots$$ con $Z_1=1+\mathrm e^{-\beta E}$ es la partícula en función de partición.

Ahora mirando el coeficiente de $z^2$ $\mathcal Z$ da las dos partículas en función de partición canónica $Z_2$. Tenemos $$ Z_2^{\text{classical}}=\frac{1}{2}Z_1^2,\quad Z_2^{\text{fermions}}=\mathrm e^{-\beta E},\quad Z_2^{\text{bosons}}=1+\mathrm e^{-\beta E}+\mathrm e^{-2\beta E}.$$ En ninguno de estos casos fue necesario hacer una aproximación. Undistinguishability en el quantum de los casos es de estados cuánticos, no para las partículas.

Comentario La diferencia entre el $Z_2^{\text{classical}}$ $Z_2^{\text{bosons}}$ se evidencia por el hecho de que los bosones y la clásica de partículas que tienen una diferencia. De hecho, la clásica de las partículas tienen ninguna correlación, que se expresa por el hecho de $Z_2\propto Z_1^2$, mientras que los bosones tienen correlaciones: en comparación con la correlación clásica de partículas, el peso relativo de los estados donde las partículas están en el mismo nivel de energía es mayor: bosones prefieren estar en el mismo estado. (Fermiones evitar estar en el mismo nivel de energía y clásica de partículas no me importa.)

Answer 3

En realidad, es exacto. El defecto es "con respecto a todo el sistema consta de estas dos partículas, también podemos escribir" $Z = 1 + e^{- \beta E} + e^{-2 \beta E}.$ Suponiendo que las dos partículas son distinguibles, tenemos $$Z=\sum_ig_ie^{-\beta E_i}=1+2e^{-\beta E}+e^{-2\beta E}=Z_0^2,$$ con la $2e^{-\beta E}$ desde el estado de energía $E$ es doblemente degenerado. El factor adicional de 1/2 en $Z=Z_0/2!$ cuentas por indistinguishability.

EDIT: Esto parece estar mal. Ver otras respuestas.

Answer 4

De hecho, es una aproximación. Como suresh dice, la aproximación sólo se aplica cuando cada partícula es diferente de una sola partícula de estado, o más precisamente, cuando el número de estados en los que cada partícula está en una situación diferente de una sola partícula estado inmensamente mayor que el número de estados en los que más de una partícula está en el mismo SP estado.

La partícula de la función de partición es $$ Z_0 = 1 + e^{-\beta E}$$ Los dos distinguibles de las partículas función de partición es $$ Z_\mathrm{dist} = 1 + 2e^{-\beta E} + e^{-2\beta E} = Z_0^2$$ Los dos indistinguible de partículas función de partición es $$ Z_\mathrm{in} = 1 + e^{-\beta E} + e^{-2\beta E}$$

Puedes esperar a ver que $Z_\mathrm{in}$ no es igual a $Z_0^2/2!$ a partir de las ecuaciones anteriores. La lógica de la $N!$ división es la siguiente: para cada estado general de los dos distinguibles sistema de partículas hay $N!$ formas de permuting las partículas, pero de idéntica estas partículas son indistinguibles. Sin embargo, para cualquier estado general de los dos distinguibles sistema de partículas con dos partículas en el mismo de una sola partícula de estado, ya estamos considerando las posibles permutaciones como indistinta. Incluso para distinguir las partículas, "Una partícula en el estado X y la partícula B en el estado X" se considera el mismo estado como "la partícula B en el estado X y Una partícula en el estado X", como debería ser bastante obvio si se piensa en ello! Tan sólo para aquellos general de los estados para que todas las partículas están en diferentes sola partícula de los estados es la completa división por $N!$ apropiado.

Para los sistemas con un gran número de estados --- tales como los sistemas con traducción grados de libertad --- esta es una muy buena aproximación, ya que el número típico de disposición de una sola partícula de estados enormemente supera el número típico de las partículas. Por otro lado, la temperatura es alta no es generalmente un límite en el que esta aproximación tiene. Usted debe ser capaz de ver esto de las expresiones para las funciones de partición. Sólo para sistemas con un número infinito de una sola partícula de los estados hace la aproximación en este límite.

Answer 5

De hecho, es una aproximación, en particular, una aproximación que es generalmente bueno a temperaturas suficientemente altas.

Para $N$ distinguibles, que no interactúan las partículas de la función de partición es $Z(\mathrm{dist.}) = {Z_0}^N$ donde $Z_0$ es el de una sola partícula función de partición. Si el $N$ de las partículas son todos en diferentes estados cuánticos, a continuación, hay $N!$ microstates de distinguible partículas que corresponden todos a la misma microestado de partículas indistinguibles. Sin embargo, si las partículas no son todos en diferentes estados, a continuación, el número de microstates de partículas distinguibles correspondiente a la misma microestado de distinguir las partículas es menor que $N!$.

Así que, en general, la relación entre la suma de más de microstates para distinguir las partículas y para indistinguibles de las partículas es bastante complejo. Sin embargo, si la temperatura es suficientemente alta, entonces (para la mayoría de los sistemas) el número de estados cuánticos accesibles será mucho mayor que el número de partículas, por lo que es poco probable que más de una partícula que va a ocupar el mismo estado cuántico. En este caso se puede hacer la aproximación de que la función de partición para distinguir las partículas es sólo $N!$ veces que para partículas indistinguibles. I. e. $Z(\mathrm{indist.}) = {Z_0}^N/N!$ como lo escribió.

La afirmación de que a temperaturas suficientemente altas, el número de estados cuánticos accesibles será mucho mayor que el número de partículas no es cierto para todos los sistemas, por ejemplo, es falso que para aquellos con delimitada espectro de energía (tales como el ideal paramagnet o el ejemplo de la OP da). También, ¿qué altura la temperatura debe ser depende del sistema. Para un gas ideal a la atmosférica densidades es una buena aproximación para temperaturas muy por encima de 1K.

Lo anterior es cierto para las partículas cuánticas (Fermiones o Bosones). En el límite clásico de la energía cuántica a nivel de separación es llevado a cero y el espectro se vuelve continua. Para un espectro continuo de la probabilidad de que dos partículas están exactamente en el mismo estado es cero, y por lo que la aproximación se convierte en exacta en este límite. Tenga en cuenta sin embargo, que no hay tal cosa como un clásico sistema de dos niveles, como el ejemplo dado por el OP. Un sistema clásico con dos mínimos locales en algunos casos puede ser tratada como un dos a nivel de sistema, pero esto en sí es una aproximación.