Zenón de Aquiles y la Tortuga - ¿Dónde está la prueba de malo?

Question

(Para aquellos que no saben lo que esta paradoja es ver la Wikipedia o la Enciclopedia de Filosofía de Stanford.)

Definamos $a_i$ e $b_i$ de forma recursiva
$$ a_0 = 0\\ b_0 = 1\\ a_i = a_{i-1} + (b_{i-1} - a_{i-1})\\ b_i = b_{i-1} + (b_{i-1} - a_{i-1})/2 $$

Es fácil probar que $b_i>a_i\ \forall i$ el uso de la inducción.

Así, mientras el $|b_i-a_i|$ tiende a $0$ , nunca tendremos $a_i>b_i$.

Ahora podemos sustituir $a_0$ como Aquiles posición de inicio y $b_0$ como Tortuga posición de inicio. Y después sucesivas posiciones de Aquiles es dado por $a_i$s (Aquiles nueva posición es = Tortuga vieja posición, que es la $1^{st}$ recursividad). Y la Tortuga se supone que se mueven a la mitad la velocidad de Aquiles. Tortuga posiciones están representados por $b_i$s. (Así, la nueva posición de la Tortuga = Posición anterior + 1/2 de la distancia recorrida por Aquiles, que es el $2^{nd}$ recursividad.)

Dado, que hemos probado en $b_i>a_i\ \forall i$, lo que yo reclamo de Aquiles siempre estará detrás de la Tortuga (Él se acercará más y más cerca, pero nunca va a superar).

Obviamente, estoy equivocado, pero donde exactamente / en la que el paso de la prueba anterior? (Favor de proporcionar la matemática exacta paso/argumento de donde me salió mal.)

Algunos discusión: La base de las respuestas que me dieron (que soy incapaz de encontrar del todo convincente - y tal vez sólo a mí que yo no les entiendo bastante bien) me gustaría agregar - En mi opinión, la forma en que se ha definido $a_i$ e $b_i$ es sólo un subconjunto de las posiciones que Aquiles y la Tortuga puede tomar. En ese subconjunto de lo que me han demostrado es correcto decir que Aquiles no puede adelantar a la Tortuga. Pero justo en ese subconjunto <- Y creo que esta es la clave

Tenga en cuenta que mi $a_i$ e $b_i$ son todos racionales. Puedo incrustar infinitos racionales entre 2 puntos en la recta real. Creo que fundamentalmente el error en mi prueba es que yo uso la inducción en las variables continuas. No estoy entrenado formalmente a expresar matemáticamente de una forma precisa - por lo tanto esta pregunta.

Mi pregunta no es de desafío/discutir que Aquiles superará o no, etc o con otra prueba Mi pregunta precisa es donde exactamente es mi prueba de mal.

Gracias

Answer 1

El problema es el siguiente. Usted ha construido una secuencia infinita de veces, en todos los cuales Aquiles está detrás de la tortuga. Sin embargo, eso no significa que Aquiles va siempre por detrás de la tortuga, porque el conjunto de veces que se ha construido está acotada. Supongamos que Aquiles tiene unidad de velocidad. Luego de alcanzar posiciones de $a_1$ e $b_1$ en el tiempo de $1$, $a_2$ e $b_2$ en el tiempo de $3/2$, $a_3$ e $b_3$ en el tiempo de $7/4$, y así sucesivamente. Es fácil comprobar que todos estos tiempos son menos de $2$, por lo que su argumento sólo implica la tortuga que está delante de $t<2$. (De hecho, $t=2$ es exactamente cuando Aquiles alcanza a la tortuga.)

Answer 2

Resumen

La prueba es completamente correcto, no hay ningún error en él. El error radica en su interpretación de los resultados que lo demuestran.

Error

Antes de identificar el error, tenga en cuenta que

$$b_n<2\:\:\forall \:n\in\mathbb N\quad \rm and \quad a_n<2\:\:\forall \:n\in\mathbb N$$

que implica inmediatamente que lo que vamos a concluir de la prueba es verdadera sólo para el intervalo de tiempo donde el desplazamiento de Aquiles y la tortuga, tanto, está a menos de $2$ unidades. Después de eso, la serie no nos proporcionan información sobre la forma en que la distancia entre ellos va a cambiar.

Ahora correctamente concluyó que $a_n<b_n \:\:\forall \:n\in\mathbb N$, pero esto sólo es cierto para $a,b<2$. Y ahora, si traducimos este argumento matemático a nuestra paradoja, vemos que nuestra prueba de los estados que Aquiles va a permanecer detrás de la tortuga tan largo como los dos de ellos no han alcanzado el $2$ unidad de la marca. Como poco a poco se van acercando a la $2$ unidad de la marca, el desplazamiento entre ellos comenzarán a recibir más y más pequeño, hasta que llegan a la $2$ unidad de la marca. En este punto, en nuestra serie la formulación es de ninguna utilidad, ya que $a=b=2$ está fuera del "dominio" de nuestra serie. Y físicamente sabemos que es en este punto ($2$ unidad de interrogación) en el que Aquiles va a adelantar a la tortuga.

Así que, en conjunto, las ecuaciones que se le acaba de decir que Aquiles va a permanecer detrás de la tortuga hasta la $2$ unidad de la marca. Esta conclusión, como sabemos, es totalmente cierto y se corresponde con la realidad física que nos espera.

Conclusión

Por lo tanto, ni su formulación matemática, ni lo que "realmente" predice falla aquí. De hecho, nada es falaz, porque la matemática está de acuerdo con la realidad. Fueron sólo a conclusiones equivocadas.

Answer 3

Escribir ", Dado, que han demostrado ser $b_i > a_i, \forall i$ ,lo que yo reclamo de Aquiles siempre estará detrás de la Tortuga (Él se acercará más y más cerca, pero nunca va a superar a)." Este contiene dos frases. La primera frase puede o no puede ser falso, dependiendo de su significado de "siempre". La frase entre paréntesis es rotundamente falso.

Que han demostrado que para todos los $i \in \{0,1,\dots\}$, $b_i > a_i$. Usted no relacionados con la $i$ a tiempo. Usted no tiene, de hecho, incorpora vez en su modelo. Por lo tanto, el único sentido de "siempre", que conduce a una válida primer sentido es "para todos no negativos $i$".

"Él se acercará más y más cerca, pero nunca va a superar." no se puede concluir a partir de "$i \in \{0,1,\dots\}$, $b_i > a_i$". Todo lo que puedo decir es que, para los tiempos correspondientes a valores no negativos de $i$, vendrá más cerca y más cerca y no adelantar. Su derivación es completamente mudo a veces no corresponde no negativo $i$.

Su argumento se ve una secuencia de instantáneas de Aquiles, sucesivamente, se aproxima a la Tortuga de la posición, pero en la época en la que Aquiles pasa a la Tortuga y posteriormente conduce a la Tortuga no son visibles. De hecho, los datos de su argumento utiliza no se puede falsificar la siguiente: De hecho, el club se está moviendo muy rápido de lo esperado en cada intervalo de tiempo delimitado por los instantes, modelada por el par de índices de $i,i+1$ para $i \geq 0$ - a partir de la posición especificada en el momento correspondiente al índice de $i$, él corre hacia adelante, pasando a la Tortuga por 100 metros, luego se da la vuelta, corre de vuelta a la posición especificada en el momento correspondiente al índice de $i+1$, luego se vuelve a cara en la dirección de avance, para completar el giro en el tiempo correspondiente al índice $i+1$.

Aunque cada índice corresponde a un tiempo, no hay nada en su argumento, indicando que el conjunto de veces incluye el tiempo cuando Aquiles pasa la Tortuga, o en cualquier momento después. En resumen, el argumento habla de un conjunto específico de veces, pero no se aplica a todos los tiempos.

Answer 4

Desde que no, voy a tratar de asignar su $i$ variable a la vez.

Vamos a suponer que ambos Aquiles y la Tortuga tiene velocidad constante (esto es importante), de Aquiles y la velocidad es de 1 m/s. Así, a partir de su definición de la $a_i$ e $b_i$, es fácil ver que la Tortuga velocidad debe ser de 0.5 m/s.

Se definen $a_i$ e $b_i$ como funciones recursivas, pero también es posible definir como un continuo, las funciones con valores reales. La extensión natural de su definición es la siguiente:

$$ a_i = 2 - 2^{(1 - i)}\\ b_i = 2 - 2^{-i} $$

Desde que Aquiles velocidad es de 1 m/s, tenemos que el tiempo es:

$$ t(i) = \frac{a_i}{1 \text{m/s}} = 2 - 2^{(1 - i)} $$

Ya podemos ver el problema, que es $t: \mathbb{R} \rightarrow (-\infty, 2)$, es decir, $t(i) < 2\ \forall i \in \mathbb{R}$. Esto significa que, no importa el valor de $i$, nunca se puede describir un mundo donde la $t \ge 2$. Esto se hace evidente si tenemos la gráfica de $a$, $b$ e $i$ con respecto a la posición y el tiempo:

Hay algunos puntos a considerar en este gráfico:

• El más cerca de Aquiles y la Tortuga llega al punto de cruce, a los 2 m, su definidas $i$ variable rápidamente tiende a infinito. De hecho, $\lim_{i\rightarrow \infty} a_i = 2$, que es el punto de cruce.
• Es decir $i$ curva nunca cruza la $t=2$ línea.
• La función inversa $i(t)$ no está definido en $\mathbb{R}$ para $t \ge 2$, como se puede ver: $$ i(t) = \log_2 \left(\frac{2}{2-t}\right) $$

Así que, aquí es donde no estoy de acuerdo con tu afirmación "Aquiles va siempre por detrás de la Tortuga": puede ser correcto decir "Aquiles va a estar detrás de la Tortuga para todos los valores de $i$", sino $i$ no se puede describir todo el intervalo de tiempo físico si las velocidades son constantes. En su lugar, $i$ es simplemente que no se definen por los tiempos donde Aquiles ha superado a la tortuga.

Answer 5

El paso en el que la prueba va mal es entre

Dado, que han demostrado ser $b_i > a_i$ ∀