Deje $X$ ser un suave compacto 4-colector. Entonces cada elemento de $H_2(X;\mathbb{Z})$ puede ser representado por una suave embebido orientable superficie y tenemos el llamado género de la función $G: H_2(X; \mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ que se asigna a una clase de homología el menor género de una superficie lisa necesarios para que la represente. Supongamos que $x$ es un nontorision elemento de $H_2(X; \mathbb{Z})$. ¿La secuencia de $G(x), G(2x), G(3x),...$ límite al infinito? No puede ser arbitrariamente grande ceros? Hay siempre un límite?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hedgetrimmer
Puntos
151
A veces la función de $G$ puede ser constantemente 0: considerar la clase de $x = [S^2\times\{p\}]$ en $H_2(S^2\times F)$ donde $F$ es una superficie. A continuación, $G(nx)$ puede ser realizada por un embedded esfera para todos los $n$: simplemente elija $n$ distintos puntos de $p_1,\dots,p_n$ en $F$, y el tubo de la $S^2\times\{p_i\}$ a $S^2\times\{p_{i+1}\}$ (con pares distintos de los tubos).
En cuanto a la existencia de un límite, para mí esto es mucho menos clara. Sin duda, algo que se conoce al $b^+(X) > 1$ y algunos de Seiberg–Witten invariantes de la $X$ no desaparece, al menos en el caso de $x\cdot x > 0$. Luego está la contigüidad de la desigualdad (Kronheimer–Mrowka), diciendo que (para algunos segundo cohomology de la clase $K$, correspondiente a un no-desaparición de SW invariante) $$ 2G(nx) - 2 \ge |\langle K, x\rangle| + n^2x\cdot x. $$ El lado derecho de la desigualdad crece cuadráticamente, por lo $G(nx)$ va a las $\infty$.
Yo estaría muy curioso saber de "interesante" el comportamiento de la función $n \mapsto G(nx)$ (por ejemplo, la no monotonía, frecuente no-monotonía, eventual constante distinto de cero comportamiento, la periodicidad/aperiodicity).
En el caso de que $x\cdot x \neq 0$, topológica de los métodos basados en el G-firma de mostrar que el género va al infinito, más o menos cuadráticamente en $n$. (Voy a ser más específico a continuación). Esto se remonta a Rochlin (de Dos dimensiones submanifolds de cuatro dimensiones de los colectores) y Hsiang-Szczarba (Sobre incorporación de las superficies en 4-variedades) en la década de 1970.
Siguiente Rochlin de la versión (ya que no tengo otra a mano): si una homología de la clase $\xi$ es divisible por $h$, una extraña energía primaria, a continuación, $$ g \geq \left|\frac {h^2-1)(\xi \cdot \xi)- \sigma(X)}{4 h^2}\right| - \frac{b_2(X)}{2}. $$ Escrito $\xi = h \alpha$ vemos que el lado derecho crece cuadráticamente en tal $h$. (Generalmente crece como el cuadrado de la más grande potencia principal dividiendo $n$ donde $\xi = n \alpha$; es de suponer que la tasa de crecimiento de la cantidad en $n$ es conocido).
Mirando en un barrio (y apegarse al primer poderes), se puede ver que usted esperaría cuadrática de crecimiento, pero la estimación anterior se ve por un factor de dos. Por ejemplo, cuando se sostiene, la contigüidad de la fórmula (citado por Marco arriba) da un salto que es aproximadamente el doble de la G-firma del obligado.
El trabajo de Strle (Límites sobre el género y geométrico de las intersecciones de cilíndrico final de los módulos espacios) da mejores resultados para las superficies de una auto-intersección en el caso de que $b_2^+(X) =1$, sin el supuesto de la no-desaparición de Seiberg-Witten invariantes. Véase también el reciente trabajo de Konno (Límites sobre el género y las configuraciones de los incrustado superficies en 4-variedades).
Finalmente, en el caso de la auto-intersección $0$, el crecimiento es en la mayoría de los lineales (y posiblemente $0$, como Marco de notas). De esta manera se sigue por el tubo junto paralelo copias de una superficie dada.
