La consistencia de ZFC + IC es quizás un poco demasiado pedir, pero creo que la mejor cosa siguiente es verdadero:
Conjetura. Cada booleano topos1 con el dependiente de la elección en la que cada conjunto de los reales es Lebesgue medible contiene una bien fundada modelo de ZFC. De hecho, cada una está contenida en una bien fundada modelo de ZFC.
La prueba de que Con(ZF + DC + LM) implica Con(ZFC + IC) muestra que, en cualquier modelo de $V$ de ZF + DC + LM, $\aleph_1$ (de $V$) es un cardinal inaccesible en el universo construible $L$ y, por tanto, el interior del modelo de $L$ satisface ZFC + IC. De hecho, muestra que la $\aleph_1$ es inaccesible en $L[a]$ para cada una de las $a$ y, por tanto, $L_{\aleph_1}[a]$ es un bien fundado modelo de ZFC que contiene $a$. Ahora voy a argumentar que se puede hacer sentido de "$L_{\aleph_1}[a]$ es un bien fundado modelo de ZFC que contiene $a$" en un booleano con topos dependiente de la elección y voy a explicar por qué creo que el por qué esto es cierto en un boolean con topos dependiente de la elección en la cual todos los conjuntos de reales son Lebesgue medibles.
Puesto que no hay material de conjuntos de alrededor, primero debemos encontrar un sustituto. Un valor booleano topos todavía puede hacer sentido de la HC, la colección de todos los hereditariamente contable de conjuntos, fusionando todos contables fundada extensional de las estructuras de $(\mathbb{N},E)$. Más precisamente, se puede mostrar que cualquiera de las dos estructuras tienen en la mayoría de uno transitivo incrustación entre ellos y que dos de ellos pueden ser fusionadas en una tercera. (Todo lo que se necesita para esto es la aritmética de la recursión transfinita.) A continuación, el límite de esta dirigido el sistema de conteo, fundada extensional estructuras bajo transitiva incrustaciones es la HC.
Una vez que hemos HC, podemos hacer un poco de teoría de conjuntos allí, pensando en sus elementos como material de conjuntos. De hecho, suponiendo dependiente de la elección, HC es un modelo muy bonito: satisface la comprensión, la sustitución, la elección y la base de la combinatoria de los axiomas, pero no tiene powersets, por supuesto, ya que cada conjunto es contable. Los ordinales de HC forma un buen orden que vamos a llamar a $\aleph_1$. Trabajo en HC, se puede construir $L_\eta[a]$ por cada $\eta \in \aleph_1$ y cada una de las $a \subseteq \omega$. Por lo tanto, uno puede hacer sentido de la subestructura $L_{\aleph_1}[a]$ de HC, que es un bien fundado modelo de un fragmento de ZFC + $V = L[a]$ y la cuestión de si $L_{\aleph_1}[a]$ es un modelo de ZFC tiene sentido.
El ingrediente clave que conecta estas ideas con Lebesgue capacidad de medición es el siguiente teorema de Raisonnier:
Teorema. Asumir ZF + DC. Si hay un incontable bien solicitar subconjunto de $\mathbb{R}$, entonces hay un no-medibles conjunto de reales.
No sé si esto pasa a través de un boolean con topos dependiente de la elección. Sin embargo, dado que este es un teorema de "ordinario matemáticas", suponemos que lo hace! El teorema se hace uso de algunos de los "objetos de lujo", como la rápida ultrafilters pero estos no tienen sentido en un valor booleano topos y, en la presencia de dependiente de la elección, también lo hace la medida de Lebesgue. Puedo estar equivocado, pero no puedo ver, inmediatamente, cualquier obstáculo que se interponga en Raisonnier del Teorema en un booleano con topos dependiente de la elección.
Ahora, el $a$-edificable reales $\mathbb{R}^{L[a]} = \mathbb{R}\cap L_{\aleph_1}[a]$ forma de un paquete conjunto de reales desde $L_{\aleph_1}[a]$ tiene un definibles wellordering. Por lo tanto, suponiendo que Raisonnier del Teorema pasa a través de, en cualquier booleano topos con el dependiente de la elección donde todos los conjuntos de reales son Lebesgue medible, debe ser el caso que $\mathbb{R}^{L[a]}$ es contable para cada $a \subseteq \omega$. Entonces, el argumento habitual de que muestra que $\aleph_1$ es inaccesible en $L[a]$ pasa a través de mostrar que $L_{\aleph_1}[a]$ es un modelo de ZFC.
Para resumir, a Alex de la solicitud, la de arriba bocetos una prueba de lo siguiente:
Teorema. En un booleano con topos dependiente de la elección donde todos bien-hacer pedidos conjuntos de reales son contables, cada una está contenida en una bien fundada modelo de ZFC.
Así que la verdad de la conjetura inicial se apoya solamente en la verdad de Raisonnier del Teorema en un booleano con topos dependiente de la elección. Tenga en cuenta que la conclusión es bastante fuerte. Ya que los modelos son fundadas, todos los $\Sigma^1_2$ frases que son verdaderas en estos modelos también se cumplen en el ambiente topos. En particular, cada uno de esos topos demuestra que ZFC no es sólo coherente, sino también $\Sigma^1_2$-sonido.
Para obtener la relativa consistencia de ZFC+IC como en Sela del Teorema, tenemos que continuar con la construcción de $L$ pasado $\aleph_1$ y demostrar que esto conduce a un modelo de ZFC en el límite. Es improbable que esto es posible sin algún tipo de adicionales integridad supuestos en los topos.
1en aras de la brevedad, por "topos" yo siempre significa "topos con un número natural objeto".
