Pista Circular riddle

Question

Estoy perplejo por el siguiente acertijo, que parece fácil al principio, pero resulta ser más complejo de lo que parece. Me gustaría ir a la parte inferior de la misma, y no podía encontrar referencias en línea.

El enigma

Tiene 9 caballos de carreras en una pista circular. comienzan en el mismo punto, y cada uno de ellos tiene una velocidad constante, pero todos sus velocidades son diferentes.

Son sólo permite el paso de uno a otro en el punto del círculo de marcar un punto de partida común, de lo contrario se chocan.

Usted puede elegir su velocidad, de modo que se puede correr para siempre sin chocar ?

Lo que yo hice

Después de algún tiempo he comprendido que el problema es equivalente a la siguiente: find 9 enteros de modo que la proporción de dos cualesquiera de ellos puede ser escrito $k/(k+1)$ para algunos entero $k$ (que pueden confiar en la elección de pareja).

Por ejemplo, con 4 caballos, usted puede tomar de 6 a 8 de 9 a 12, como 6/8=3/4, 8/12=2/3, y así sucesivamente.

Una solución con 6 caballos: 210 216 220 224 225 240.

Esta restricción puede ser traducido en una condición en las sucesivas diferencias de los números, y pedimos que un determinado sistema de congruencias calculado a partir de estas diferencias tiene una solución. La solución es la velocidad de la más lenta de caballo, y las diferencias se dan los otros.

Teniendo esto, hice un equipo de fuerza bruta búsqueda sobre las diferencias entre el entero velocidades (con algunos trucos para rápido para arriba), y logró llegar hasta 12 caballos. Por desgracia no puedo ver ninguna estructura emergente, que me hace pensar que he perdido el punto, y otro enfoque podría ser más explicativo. Todavía no estoy capaz de explicar cómo encontrar una solución con 9 caballos sin la ayuda de una computadora.

Pregunta

Hay una solución para cualquier número de caballos ?

Answer 1

Disculpas por comentar en una respuesta cuando ya hay una respuesta en los comentarios...

Cuando yo era un estudiante de Doctorado (en los 90), estábamos discutiendo las variaciones de van der Waerden teorema sobre monocromática progresiones aritméticas. Una pregunta que surgió fue si podemos exigir a la monocromía de la secuencia de consistir consecutivos múltiplos de un número. La respuesta es no para de tres términos de progresiones y dos colores, y el contraejemplo es bien conocido en el contexto de la Erdös discrepancia problema: el Color de los números enteros positivos de 1 o 2 según el último dígito distinto de cero en la base 3 de la representación.

Pero es cierto para las progresiones de longitud 2 y cualquier número de colores, como a mi entonces compañero Gustavo Ryd nos mostró básicamente el uso de Lucía de la construcción! Por ejemplo, si tenemos 3 colores, dos de los números 6, 8, 9, 12 deben tener el mismo color, y así sucesivamente.