Quiero saber por qué $\omega \neq \omega+1$.

Question

En Kunen del libro, la Teoría de conjuntos,en el capítulo I. 7, dijo: $1+\omega=\omega \neq \omega+1$. Quiero saber por qué $\omega \neq \omega+1$.

Answer 1

Hay una manera sencilla de ver esto. Usted necesidad de aplicar la definición de ordinal, además de:
$$\omega + 1 = \omega \times \{0\} \cup \{1\} \times \{1\} = \{0, 1, 2, \dots 1^\prime\}$$

Por lo $\omega + 1$ tiene un elemento al final que no es un sucesor de nada mientras $\omega$ no.

Por otro lado, $$1 + \omega = \{1\} \times \{0\} \cup \omega \times \{1\} = \{1 ^\prime, 0, 1, 2, \dots\} \cong \omega$$

así que usted puede ver que, además de no conmutan.

Hay algo más de información sobre esto aquí en la Wikipedia. Espero que esto ayude.

Answer 2

Me parece imágenes para ayudar. La idea aquí es que el $\omega$ es un ordinal límite y virar en el ordinal $1$ después de que es fundamentalmente diferente:

La imagen de las $\omega$ tiene un borde curvo que indica que es un ordinal límite opuesto a ser un ordinal sucesor. Cuando nos tachuela en $1$ a la derecha de $\omega$ tenemos este ordinal $\omega+1$ que contiene un ordinal límite, que no es algo que se produce en $\omega$. Esto significa que $\omega$ $\omega+1$ no pueden ser isomorfos.

Se puede utilizar ver por qué $1+\omega$ $\omega+1$ no son iguales? ¿Por qué $1+\omega = \omega$?

Answer 3

$\omega + 1$ tiene un punto límite (es decir, $\omega$ - el uso de la von Neumann definición $\omega + 1 = \omega \cup \lbrace\omega\rbrace$) en el orden de la topología mientras que $\omega$ es discreta en el orden de la topología.