El primer grupo de homotopía inestable de $Sp(n)$

Question

Gracias a las fibraciones

\begin {align*} SO(n) \to SO(n+1) & \to S^n \\ SU(n) \to SU(n+1) & \to S^{2n+1} \\ Sp(n) \to Sp(n+1) & \to S^{4n+3} \end {align*}

sabemos que

\begin {align*} \pi_i (SO(n)) \cong \pi_i (SO(n+1)) \cong \pi_i (SO), \quad i & \leq n-2 \\ \pi_i (SU(n)) \cong \pi_i (SU(n+1)) \cong \pi_i (SU), \quad i & \leq 2n - 1 = (2n+1) - 2 \\ \pi_i (Sp(n)) \cong \pi_i (Sp(n+1)) \cong \pi_i (Sp), \quad i & \leq 4n+1 = (4n + 3) - 2. \end {align*}

Estos valores de $i$ se conocen como el rango estable. Así, los primeros grupos inestables son $\pi_{n-1}(SO(n))$ , $\pi_{2n}(SU(n))$ y $\pi_{4n+2}(Sp(n))$ respectivamente.

Pude encontrar $\pi_{n-1}(SO(n))$ para $1 \leq n \leq 16$ combinando las tablas de la página de nLab para el grupo ortogonal y el apéndice A, sección 6, parte VII de la Diccionario enciclopédico de matemáticas . Los grupos son

$$0, \mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}.$$

No parece haber ningún patrón aquí, así que supongo que no hay un resultado general para $\pi_{n-1}(SO(n))$ . ( Siéntase libre de corregirme si me equivoco .) Acabo de notar que cada segundo término contiene una copia de $\mathbb{Z}$ mientras que uno de cada cuatro términos contiene dos copias.

El caso de $SU(n)$ es completamente diferente: en El espacio de bucles en un grupo de Lie Bott demostró, entre otras cosas, que $\pi_{2n}(SU(n)) \cong \mathbb{Z}_{n!}$ , véase el teorema 5.

Consultando de nuevo el Diccionario Enciclopédico de Matemáticas, pude encontrar $\pi_{4n+2}(Sp(n))$ para $n = 1, 2, 3$ . Los grupos son $\mathbb{Z}_{12}$ , $\mathbb{Z}_{120}$ y $\mathbb{Z}_{10080}$ . Esto parece sugerir que este caso es más similar a $SU(n)$ que $SO(n)$ Así que cabe esperar que haya un resultado del tipo Bott.

¿Existe un análogo del resultado de Bott para $Sp(n)$ ? Es decir, ¿hay alguna función creciente $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $\pi_{4n+2}(Sp(n)) \cong \mathbb{Z}_{f(n)}$ ?

La OEIS no tiene secuencias de inicio $12, 120, 10080$ , así que no tengo que adivinar qué $f(n)$ podría ser. Es interesante observar que $12 \mid 120$ y $120 \mid 10080$ que es otra similitud con el $SU(n)$ caso.

Por supuesto, tres grupos no es mucho para seguir, así que esto puede ser una suposición completamente equivocada. Algunas preguntas que sería bueno responder antes de esperar seriamente un resultado así son:

• Es $\pi_{4n+2}(Sp(n))$ ¿siempre cíclico?
• Es $\pi_{4n+2}(Sp(n))$ ¿siempre finito?
• Es $|\pi_{4n+2}(Sp(n))|$ aumentando en $n$ ?

También sería interesante conocer cualquier información relativa a estas tres cuestiones.

Al no poder responder a ninguna de estas preguntas, ¿tienen alguno de estos grupos (a saber $\pi_{18}(Sp(4)), \pi_{22}(Sp(5)), \dots$ ) se ha calculado?

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Actualización: He añadido la secuencia $|\pi_{4n+2}(Sp(n))|$ a la OEIS: A301898 .

Además, la respuesta a la pregunta que hice también estaba en el Diccionario Enciclopédico de Matemáticas en la página 1746.

Answer 1

La respuesta parece estar en el papel Grupos de homotopía de grupos simplécticos por Mimura y Toda. Afirman que el cálculo ya estaba en un documento de Harris pero eso se ha dicho en términos de un espacio simétrico y no es inmediatamente obvio para mí cómo traducirlo en información sobre los grupos.

Afirman que el grupo es $\mathbb Z_{(2n+1)!}$ si $n$ es par y $\mathbb Z_{(2n+1)! \cdot 2}$ si $n$ es impar, que coincide con sus datos.

Answer 2

Los primeros grupos homotópicos inestables de $SO(n)$ son en realidad 8-periódicos (excepto por alguna basura al principio). Algunos grupos de homotopía más inestables de $SO(n)$ se puede encontrar en:

• M. Kervaire. Algunos grupos de homotopía no estables de grupos de Lie. Illinois J. Math. 4 (1960), 161-169. (enlace al sitio web de la revista)

La 8-periodicidad para el grupo ortogonal se produce de la siguiente manera: la pieza relevante de la secuencia de estabilización es $$ \pi_n S^n\to \pi_{n-1}SO(n)\to \pi_{n-1}SO(n+1)\to 0. $$ Los grupos de homotopía inestables $\pi_{n-1}SO(n)$ son entonces sumas directas del material estable de $\pi_{n-1}SO(\infty)$ más un cociente cíclico de $\pi_n S^n\cong \mathbb{Z}$ . La 8-periodicidad proviene efectivamente del sumando estable (ver la lista de grupos de homotopía del grupo ortogonal infinito). El cociente cíclico de $\pi_n S^n$ es sólo 2-periódica, alternando entre $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ Creo que esto proviene básicamente de la clase de Euler correspondiente a la esfera que alterna entre 2 y 0.

La descripción de la homotopía inestable de los grupos simplécticos dada en la respuesta de Will Sawin también puede encontrarse en

• B. Harris. Algunos cálculos de grupos de homotopía de espacios simétricos. Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), 174-184. (enlace al sitio web de la revista)