La otra gran clase de casos en los que uno puede construir $E$ es al $R$ está localizada regular cociente de $L$, o en otras palabras $R=L[S^{-1}]/I$, donde el ideal $I$ puede ser generado por una secuencia regular. Hay una larga historia de resultados generales de este tipo. Creo que la nitidez de sus versiones están en mis papeles "Productos en $MU$-módulos" y "la Realización de grupos formales" (aunque los métodos utilizados no son tan diferentes de los trabajos anteriores). Tenga en cuenta que el último documento colabora con el periódico el espectro de $MP=\bigvee_{n\in\mathbb{Z}}\Sigma^{2n}MU$ en lugar de $MU$ sí; este es el modo más natural para muchos propósitos. Tenga en cuenta que, en este contexto, nos centramos en $\pi_0$ y tenga en cuenta que $\pi_0(MP)=L$.
Hay uno más útil de la construcción, que es menos a menudo discutido en la literatura. Elegir generadores $a_1,a_2,\dotsc$ para $L=\pi_0(MP)$. Deje $A$ ser el monoid (en virtud de la multiplicación) generados por estos elementos, y poner $T=\Sigma^\infty_+A$, o, equivalentemente,$T=\bigvee_{a\in A}S^0$. Ahora $\pi_*(T)=\pi_*(S)\otimes L$, y hay un evidente mapa de $f\colon T\to MP$ de los ingenuos anillo de espectros, que es un isomorfismo en $\pi_0$. Si queremos hacer una $MP$-álgebra $E$, lo que podría esperar a empezar por hacer una $T$-álgebra $E'$, y luego poner a $E=E'\wedge_TMP$. En particular, supongamos que $I$ es un ideal en el $L$ que es generado por un subconjunto de monomials en los generadores $a_i$. Entonces es fácil construir $T/I$ as $\bigvee_{b\in B}S^0$ para un adecuado subconjunto $B\subseteq A$, y que podemos esperar para la construcción de $MP/I$ as $T/I\wedge_TMP$. En particular, se puede elegir ascensores en $\pi_0(MP)$ de la cromática generadores $v_k$, y el uso de estas como algunos de la integral generadores $a_i$; podemos formar $MP/(v_1^2,v_1v_2,v_2^2)$, que es similar pero no idéntica a la de la cosa que @LennartMeier menciona en su comentario.
Sin embargo, para que esto funcione, necesitamos más altamente estructurado versiones de $T$, $MP$ y $f$ (debido a que no hay ninguna construcción en general de smash productos de los módulos a través de desestructurado anillo de espectros). Podemos construir estrictamente conmutativa versiones de $T$ e $MP$, y también de $T/I$ al $I$ es generado por monomials, pero lamentablemente $f\colon T\to MP$ no puede ser un mapa de estrictamente conmutativa anillos, porque $\pi_0(MP)$, tiene una interesante poder operaciones y $\pi_0(T)$ no. Hay algunas desventajas de la categoría de modelos de estructuras que pueden causar problemas aquí, y no he comprobado todos los detalles, pero creo que uno puede hacer lo siguiente, por ejemplo, en la categoría de EKMM espectros.
- En el EKMM contexto, el $0$-esfera espectro de $S$ no es cofibrant. Escribimos $C$ para el cofibrant de reemplazo, y $C^m$ de la $m$veces smash de potencia.
- Deje $A_i$ denotar la submonoid de $A$ generado por $a_i$ y poner $T_i=\Sigma^\infty_+A_i=\bigvee_mS$. El espectro de $T=\Sigma^\infty_+A$ es, entonces, el smash producto de todos los $T_i$ (es decir, la colimit más de $n$ de %de$\bigwedge_{i=1}^nT_i$).
- Deje $T_i^c$ denotar la cofibrant reemplazo de $T_i$, en la categoría de estrictamente conmutativa anillo de espectros. Esto no es una simple descripción. Deje $T^c$ denotar el smash producto de la $T_i^c$; creo que este es el cofibrant reemplazo de $T$ en la propiedad conmutativa de la categoría.
- Poner $T_i^a=\bigvee_mC^m$. Este es el asociativo anillo generado por $C$, y es el cofibrant reemplazo de $T_i$ en el asociativa de la categoría. Hay una natural débil equivalencia $T_i^a\to T_i^c$ asociativo de los anillos.
- Deje $T^a$ ser el smash producto de todos los objetos de $T^a_i$. Este es un anillo asociativo, pero no es cofibrant como tal. Creo que no importa.
- Ahora estrictamente conmutativa modelo de $MP$. El uso de la libertad de la propiedad de $T_i^a$ obtenemos un mapa de $f^a_i\colon T^a_i\to MP$ llevar el generador de a $a_i$. Como $MP$ es conmutativa, se puede romper estos juntos y pasar a un colimit para obtener un mapa de $T^a\to MP$ de los estrictamente asociativa anillo de espectros. Esto nos da una asociativo $T^a$-álgebra. Para estar en el lado seguro, probablemente deberíamos tomar la cofibrant reemplazo de este, en la categoría de $T^a$-álgebras, para obtener un objeto $M^a$. Entonces podemos tomar la $M^c=T^c\wedge_{T^a}M^a$. Este es un asociativa $T^c$-álgebra, y creo que hemos hecho lo suficiente cofibrant de reemplazo para asegurarse de que el subyacente homotopy tipo todavía se $MP$.
- Ahora vamos a $I$ un ideal en $L$ que es generado por monomials, y deje $B$ denota el conjunto de monomials que no se encuentran en $I$. Hay una manera bastante directa para hacer $\Sigma^\infty_+B$ en un estrictamente conmutativa anillo de espectro, y dejamos $T^c/I$ denotar la cofibrant de reemplazo. Este es un mapa de $T^c$. Ahora podemos definir la $MP/I=T^c/I\wedge_TM^c$.
