Cuando el tamaño importa en la categoría de teoría para el trabajo matemático

Question

Creo que una pregunta relacionada puede ser este (Conjunto Teórico Temas/Categorías).

Hay muchas maneras en que usted puede evitar conjunto teórico paradojas en el trato con la categoría de teoría (véase, por ejemplo, Shulman - la teoría de conjuntos para la categoría de la teoría).

Algunos resultados importantes en la categoría de la teoría de asumir algún tipo de 'pequeñez' de su categoría en la práctica. Una muy utilizada resultado en álgebra homológica es el Freyd–Mitchell incrustación teorema:

• Cada pequeño abelian categoría admite una totalmente fiel exacta de integración en una categoría $\text{$R$-mod}$ para un adecuado anillo de $R$.

Ahora, en el uso diario de este resultado, la restricción de que la categoría es pequeño no es importante: por ejemplo, si usted quiere hacer el diagrama de perseguir en un diagrama en cualquier categoría, siempre se puede restringir su atención a la abelian subcategoría generados por los objetos y los mapas en el diagrama, y la categoría será pequeño.

Me pregunto:

¿Cuáles son los resultados de la categoría teoría, comúnmente utilizado en la práctica de matemáticas, en el que las consideraciones de tamaño son cruciales?

Shulman en [op. cit.] da lo que yo creo que es un ejemplo, el Freyd Especial Adjunto Functor Teorema: un functor de un completo, local pequeño y bien alimentado categoría con un cogenerating conjunto a un localmente categoría de pequeña tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si conserva los límites de los pequeños.

Me sería interesante ver alguna discusión sobre este tema.

Answer 1

Muy a menudo uno tiene la sensación de que el conjunto de la teoría de los problemas son algo cheatable, y la gente siente que se les han escapado de las fundaciones cuando se las arreglan para engañar a ellos. Peor aún, algunos afirman que las fundaciones son irrelevantes, ya que cada vez que se atreven a ser relevante, pueden ser engañados. Lo que estas personas no han entendido es que la mejor base es la que permite que la mayoría de las trampas (sin caer aparte).

En la relación entre la fundación y la práctica, sin embargo, lo que más importa es la fenomenología de cada día de las matemáticas. Con el fin de hacer esta declaración claro, permítanme la uncheatable lema. En la discusión posterior, veremos la repercusión de este lema.

Lema (La uncheatable). Un local pequeño, grande-cocomplete categoría es un poset.

El lema muestra que no importa cómo la grasa son los conjuntos donde se enriquecen su categoría, no hay ninguna posibilidad de que la categoría es absolutamente cocomplete.

Ejemplo. En la categoría de conjuntos, la gran subproducto de todos los conjuntos no es un conjunto. Si usted ampliar el universo de tal manera que es, a continuación, algunos otros (incluso superiores) subproducto no va a existir. Este es ineludible y siempre se reduce a la Paradoja de Russel.

Excursus. Muy recientemente, Thomas Forster, Adán Lewicki, Alice Vidrine han intentado reiniciar la categoría de la teoría Estratificada de la Teoría de conjuntos en su papel de la Categoría de la Teoría con Estratificado de la Teoría de conjuntos (arXiv: https://arxiv.org/abs/1911.04704). Uno podría considerar esto como una especie de solución a la uncheatable lema. Pero es difícil decir si es una verdadera solución o una forma más o menos equivalente lingüístico de la reformulación. Esta teoría está en sus primeras etapas.

En este punto uno podría decir que no he mostrado ningún problema concreto, todos sabemos que la clase de todos los conjuntos no es un conjunto, y aparece como una pieza de bastante inofensivo noticia para nosotros.

En el resto de la discusión, voy a tratar de mostrar que la uncheatable lema tiene consecuencias en el uso diario de la categoría de teoría. Las categorías se supone que para ser localmente pequeña con respecto a algunos de la categoría de conjuntos. Permítanme recordar un resultado estándar de la teoría de Kan extensiones.

Lema (Kan). Deje $\mathsf{B} \stackrel{f}{\leftarrow} \mathsf{A} \stackrel{g}{\to} \mathsf{C}$ ser un período donde la $\mathsf{A}$ es pequeña y $\mathsf{C}$ es (pequeño) cocomplete. El de la izquierda Kan extensión de $\mathsf{lan}_f g$ existe.

Kan extensiones son una herramienta útil en la práctica diaria, con aplicaciones en muchos temas diferentes a los de la categoría de teoría. En este lema (que es uno de los más utilizados en este tema) en el conjunto de la teoría de la cuestión está lejos de ser oculto: $\mathsf{A}$ debe ser pequeño (con respecto a los Ob$\mathsf{C})$! No hay ninguna posibilidad de que el lema es cierto cuando se $\mathsf{A}$ es un gran categoría. En efecto, desde colimits puede ser calculada a través de Kan extensiones, el lema implicaría que todos los (pequeños) cocomplete categoría es grande cocomplete, lo cual no está permitido por la uncheatable. Además, no hay ninguna posibilidad de resolver el problema diciendo: bueno, vamos a considerar la $\mathsf{C}$ a ser de gran cocomplete, de nuevo a causa de la la uncheatable.

Este problema es difícil de evitar, debido a que el tamaño de las categorías de nuestro interés es el hecho de siempre más grande que el tamaño de sus habitantes (esto sólo significa que la mayoría del tiempo Ob$\mathsf{C}$ es una clase adecuada, tan grande como el tamaño de la de enriquecimiento).

Observe que el Kan problema con la extensión recupera el functor Adjunto teorema de uno, porque adjoints son calculadas a través de Kan extensiones de las identidades de los grandes categorías. De hecho, en ese caso, el conjunto de soluciones condición es precisamente lo que se necesita con el fin de reducir el tamaño de algunos colimits que de otro modo serían demasiado grandes para calcular, como pueden ser sintetizados por el fuerte la versión de que el Kan lema.

Sharp Kan lema. Deje $\mathsf{B} \stackrel{f}{\leftarrow} \mathsf{A} \stackrel{g}{\to} \mathsf{C}$ ser un período donde la $\mathsf{B}(f-,b)$ es una es pequeña presheaf para cada $b \in \mathsf{B}$ e $\mathsf{C}$ es (pequeño) cocomplete. Luego el izquierdo Kan extensión de $\mathsf{lan}_f g$ existe.

De hecho, este lema permite a $\mathsf{A}$ a ser grande, pero debemos pagar un tributo a su presheaf categoría: $f$ debe ser de alguna manera local pequeño (con respecto a los Ob$\mathsf{C}$).

Kan lema Fortissimo. Deje $ \mathsf{A} \stackrel{f}{\to} \mathsf{B} $ ser un functor. Los siguientes son equivalentes:

• para cada $g :\mathsf{A} \to \mathsf{C}$ donde $\mathsf{C}$ es una pequeña cocomplete categoría, $\mathsf{lan}_f g$ existe.
• $\mathsf{lan}_f y$ existe, donde $y$ es el Yoneda de incrustación en la categoría de los pequeños presheaves $y: \mathsf{A} \to \mathcal{P}(\mathsf{A})$.
• $\mathsf{B}(f-,b)$ es una es pequeña presheaf para cada $b \in \mathsf{B}$.

Incluso inconscientemente, la discusión anterior es una de las razones de la popularidad de local presentable categorías. De hecho, con una densa generador es un buen compromiso entre la generalidad y el tameness. Como una evidencia de esto, en el contexto del acceso a las categorías de la fuerte Kan lema puede ser simplificado.

Tame Kan lema. Deje $\mathsf{B} \stackrel{f}{\leftarrow} \mathsf{A} \stackrel{g}{\to} \mathsf{C}$ ser un lapso de tiempo de acceso a las categorías, donde $f$ es accesible functor y $\mathsf{C}$ es (pequeño) cocomplete. Luego el izquierdo Kan extensión de $\mathsf{lan}_f g$ existe.

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Referencias Nítidas. Yo no soy consciente de referencia para este resultado. Se puede seguir a partir de un análisis cuidadoso de la Proposición. A. 7 en mi papel Codensity: Isbell, la dualidad, pro-objetos, la compacidad y la accesibilidad. La estructura de la prueba sigue siendo el mismo, presheaves debe ser sustituido por el pequeño presheaves.

Referencias para Domar. Este es un ejercicio, se puede seguir directamente de la fuerte Kan lema, pero es suficiente para articular adecuadamente la costumbre Kan lema, la Proposición A. 1 y 2 del mencionado artículo, y el hecho de que el acceso a la functors han arity.

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Esta respuesta está conectado a este otro.

Answer 2

He aquí un ejemplo que se vincula más a la práctica de matemáticas fuera de la categoría de la teoría adecuada. Recordemos que para un sitio pequeño, $(C,J)$, donde yo tome $J$ a ser un Grothendieck pretopology en la categoría de pequeña $C$, cualquier presheaf $C^{op} \to \mathbf{Set}$ tiene un sheafification, y esto se extiende a darnos un functor $[C^{op},\mathbf{Set}] \to Sh(C,J)$ de presheaves a las poleas, a la izquierda adjunto a la inclusión. Sheafification puede ser descrito como dos aplicaciones de la Grothendieck además de la construcción, que es un colimit indexados por un conjunto de cubrir los tamices.

Ahora también podemos hablar de grandes sitios, y al menos hablar de individuo (pre)poleas incluso cuando no podemos formar las categorías de ellos (es decir, porque, como las Pilas de proyecto, no queremos que el uso de universos, o lo que sea). No es entonces un verdadero obstáculo para la formación de la sheafification. Famosa por ser la categoría de esquemas (sobre una base esquema, si se desea) con el fpqc (pre)topología tiene presheaves en lo que no admite un sheafification (ver etiqueta 0BBK). Lo que está sucediendo aquí es que la condición WISC (Débilmente Conjunto Inicial de Abarca) es violado. Esta condición se dice que por cualquier objeto, no es un conjunto de cubrir a las familias de tal manera que cada cubriendo la familia es refinado por uno en ese conjunto. Esto permite la construcción de la colimit en el plus de la construcción, y también puede ser visto como una especie de conjunto de soluciones condición para la construcción de la izquierda adjunto a la inclusión de las gavillas en presheaves. Entonces, en un sentido, este es un caso especial de Iván de la respuesta.

Los sitios grandes, no son infrecuentes en la práctica, incluso si son escamoteada. Ignorando esencialmente pequeños ejemplos (como la de la categoría de finito-dimensional colectores), entonces la categoría de todos los espacios topológicos (o CGWH espacios, incluso) con la apertura de la tapa de la topología es grande pero cumple WISC; lo mismo para la categoría de esquemas (o relativa) con casi cualquier topología más gruesa de lo fpqc; lo mismo para cualquier categoría de dimensiones infinitas suave colectores (de nuevo con la apertura de la tapa de la topología). Por lo tanto esta condición WISC es muy natural, tanto desde una categoría de la teoría del punto de vista, y también de una gavilla de teoría o incluso punto de vista geométrico, estar satisfecho, muy a menudo, pero no siempre. A partir de un conjunto teórico punto de vista (teniendo en cuenta obligando como una instancia de formación de gavilla toposes), y en realidad es muy difícil hacerla fracasar, y uno no puede a que sin la debida clase de forzamiento (o el análogo cosa en un topos de la teoría de la aproximación).

Answer 3

Permítanme compartir un básico teorema de topología algebraica que esconde un sutil conjunto teórico punto de que resulta ser el elemento en juego. Estoy hablando de Bousfield localización. Déjame ponerlo de esta manera, considerar la categoría de $\mathcal{T}: = \mathsf{Ho}\mathcal{Sp}$ el homotopy categoría de los espectros. Deje $E \in \mathcal{T}$ y considerar los más pequeños nidos categoría estable con co-productos que contiene $E$, denotado $\langle E \rangle$. Bousfield del teorema afirma que la inclusión functor $$\langle E \rangle \hookrightarrow \mathcal{T}$$ tiene derecho adjuntos.

La idea de la prueba es clara, Dado un espectro de $X$ construir paso a paso espectros $N_\alpha \in \langle E \rangle$ (indexados por los cardenales) y de considerar su cofiber secuencia $$ N_\alpha \X \a B_\alpha $$ Si uno toma el (homotopy) límite de todas las $B_\alpha$ , se llega a un objeto en $\langle E \rangle^\perp$ cuya fibra $N$ (el colimit de $N_\alpha$) es automáticamente el valor de la adjuntos. Hasta algunos de cheques y de algunas precisiones esta sería la prueba. El problema es que uno no puede tomar una clase indexados límite, a menos que uno acepta una forma de que el universo axioma en el que caso de que estos límites de vivir fuera de nuestro universo!

Así que, ¿cuál es la salida? Bousfield inteligente el argumento de que hay un cardenal $\gamma$ tal que $B_\gamma \in \langle E \rangle^\perp$ con los cardenales y los argumentos relacionados con la presentabilidad de la modelo de la categoría de los espectros. Con este razonamiento, tanto $N_\gamma$ e $B_\gamma$ viven en nuestro universo, o de lo contrario, dijo, la prueba tiene sentido con nuestra opción favorita de fundaciones (von Neumann-Gödel-Bernays, dicen).

Huelga decir que hay otras versiones de este resultado que utilizan el mismo conjunto teórico truco para lograr un salto en el índice de cardenal, por ejemplo, un resultado análogo para las categorías derivadas.

Todo esto está relacionado con el llamado "pequeño argumento de objeto".