La transformada de Hilbert en el verdadero espacio de Hilbert $L^2(\mathbb R)$ es la singular integral operador $$ \mathcal H(f)(x) := \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x-y} f(y) dy. $$
Satisface $\mathcal H^2=-Id_{L^2(\mathbb R)}$, y en ese sentido, es una estructura compleja en el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb R)$ del valor real, plaza de la integración de las funciones de la línea real.
Me pregunto si hay otros operadores $\tilde {\mathcal H}:L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R)$ con propiedades similares.
Pregunta: ¿existe una función de $K:\mathbb R^2\to \mathbb R$ con las siguientes propiedades:
La función de $K(x,y)$ se parece a $\frac{1}{x-y}$ en un barrio de la diagonal $x=y$
(aquí, "parece", me refiero a que por ejemplo, como "$K(x,y) = \frac{1}{x-y} +$ función suave").La singular integral operador $$ \tilde {\mathcal H}(f)(x) := \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty K(x,y) f(y) dy. $$ satisface $\tilde {\mathcal H}^2=-Id_{L^2(\mathbb R)}$, y por lo tanto define una estructura compleja en $L^2(\mathbb R)$.
La función de $K$ va a cero más rápido que $\frac{1}{x-y}$ a lo largo de la antidiagonals.
Es decir, se satisface $$ \forall x\in \mathbb R,\qquad\qquad \lim_{t\to \infty}\;\;\;\; t\cdot K(t,x-t) = 0. $$
Variante: En caso de que resulta difícil producir un ejemplo de un operador $\tilde {\mathcal H}:L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R)$ como en el anterior, yo sería feliz para reemplazar a $L^2(\mathbb R)$ por $L^2(\mathbb R;\mathbb R^n)$, el espacio de Hilbert de $\mathbb R^n$valores $L^2$ funciones en la recta real.
En ese caso, yo estaría buscando un integrante del núcleo $$ K:\mathbb R^2\a \mathit{Mat}_{n\times n}(\mathbb R) $$ con todas las propiedades mencionadas anteriormente.
Ahora mismo, creo que en realidad forman kernel no existe,
pero esto es puramente una sensación de la tripa...
Si alguien tiene alguna idea acerca de cómo probar la no existencia de $\tilde {\mathcal H}:L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R)$ con las propiedades anteriormente mencionadas, entonces yo sería muy interesado en escuchar de ellos.
